Exercice 34

Exercice :

Considérons l’égalité \[ 5\,(2a + b) = 100. \]

1. Déterminez la valeur de \(a\) dans les cas suivants :
   • 1. \(b=8\)
   • 2. \(b=2\)
   • 3. \(b=18\)
   • 4. \(b=6\)
2. Déterminez la valeur de \(b\) dans les cas suivants :
   • 1. \(a=10\)
   • 2. \(a=5\)
   • 3. \(a=8\)
   • 4. \(a=0\)

Réponse

L’équation se simplifie en 2a + b = 20. Ainsi, on obtient :

• a = (20 – b) / 2 (par exemple, pour b = 8, a = 6)
• b = 20 – 2a (par exemple, pour a = 10, b = 0)

Corrigé détaillé

Ci-dessous, nous présentons une correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé de l’exercice

On considère l’égalité \[ 5\,(2a + b) = 100. \]

Objectifs :

1. Déterminer la valeur de \(a\) pour différents valeurs de \(b\).
2. Déterminer la valeur de \(b\) pour différentes valeurs de \(a\).

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Étape 1 : Simplification de l’équation

L’équation donnée est \[ 5\,(2a + b) = 100. \]

Pour la simplifier, nous divisons les deux membres de l’égalité par 5 (car \(5 \neq 0\)). Cela nous donne : \[ 2a + b = \frac{100}{5} = 20. \]

Nous obtenons ainsi l’équation simplifiée : \[ 2a + b = 20. \] Cette équation sera utilisée pour trouver la valeur de \(a\) en connaissant \(b\) et la valeur de \(b\) en connaissant \(a\).

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Partie 1 : Déterminer la valeur de \(a\) pour différents \(b\)

Nous partons de l’équation simplifiée : \[ 2a + b = 20. \]

Isoler \(a\)

Pour trouver \(a\), nous isolons le terme : \[ 2a = 20 - b \quad \text{soit} \quad a = \frac{20 - b}{2}. \]

Nous allons maintenant substituer les valeurs données de \(b\).

Cas 1 : \(b = 8\)

Substituons \(b = 8\) dans l’équation : \[ a = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6. \]

Cas 2 : \(b = 2\)

Substituons \(b = 2\) : \[ a = \frac{20 - 2}{2} = \frac{18}{2} = 9. \]

Cas 3 : \(b = 18\)

Substituons \(b = 18\) : \[ a = \frac{20 - 18}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

Cas 4 : \(b = 6\)

Substituons \(b = 6\) : \[ a = \frac{20 - 6}{2} = \frac{14}{2} = 7. \]

Récapitulatif pour la Partie 1 : - Pour \(b = 8\), \(a = 6\). - Pour \(b = 2\), \(a = 9\). - Pour \(b = 18\), \(a = 1\). - Pour \(b = 6\), \(a = 7\).

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Partie 2 : Déterminer la valeur de \(b\) pour différentes valeurs de \(a\)

Nous partons toujours de l’équation simplifiée : \[ 2a + b = 20. \]

Isoler \(b\)

Pour exprimer \(b\) en fonction de \(a\), nous effectuons : \[ b = 20 - 2a. \]

Nous allons substituer les valeurs données de \(a\).

Cas 1 : \(a = 10\)

Substituons \(a = 10\) : \[ b = 20 - 2 \times 10 = 20 - 20 = 0. \]

Cas 2 : \(a = 5\)

Substituons \(a = 5\) : \[ b = 20 - 2 \times 5 = 20 - 10 = 10. \]

Cas 3 : \(a = 8\)

Substituons \(a = 8\) : \[ b = 20 - 2 \times 8 = 20 - 16 = 4. \]

Cas 4 : \(a = 0\)

Substituons \(a = 0\) : \[ b = 20 - 2 \times 0 = 20 - 0 = 20. \]

Récapitulatif pour la Partie 2 : - Pour \(a = 10\), \(b = 0\). - Pour \(a = 5\), \(b = 10\). - Pour \(a = 8\), \(b = 4\). - Pour \(a = 0\), \(b = 20\).

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Conclusion

En résumant l’exercice, nous avons vu que :

1. Pour déterminer \(a\) à partir de \(b\), nous utilisons \(a = \frac{20 - b}{2}\). Ainsi :
   • \(b = 8 \Rightarrow a = 6\),
   • \(b = 2 \Rightarrow a = 9\),
   • \(b = 18 \Rightarrow a = 1\),
   • \(b = 6 \Rightarrow a = 7\).
2. Pour déterminer \(b\) à partir de \(a\), nous utilisons \(b = 20 - 2a\). Ainsi :
   • \(a = 10 \Rightarrow b = 0\),
   • \(a = 5 \Rightarrow b = 10\),
   • \(a = 8 \Rightarrow b = 4\),
   • \(a = 0 \Rightarrow b = 20\).

Cette méthode de résolution montre l’importance de simplifier l’équation initiale et d’isoler la variable désirée pour ensuite substituer la valeur donnée.