Exercice
Dans chaque groupe de trois méthodes de résolution, identifie celle qui conduit à la solution correcte.
b) Pour l’équation \[ 4(x+10)=80 \]
Les trois approches proposées sont :
c) Pour l’équation \[ 30-0,6x=12 \]
Les trois approches proposées sont :
Réponse très courte :
– Pour 4(x + 10) = 80, on trouve x = 10 (méthodes 1 et 3
correctes).
– Pour 30 – 0,6x = 12, la seule méthode correcte donne x = 30.
Voici une correction complète détaillée en français pour chacune des parties demandées.
Nous avons trois méthodes proposées. Regardons-les une par une.
Écrire l’équation
\(\displaystyle 4(x+10)=80\)
Développer l’expression
En multipliant 4 par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse, on
obtient :
\[
4(x+10)=4\times x+4\times10=4x+40
\] Ainsi, l’équation devient : \[
4x+40=80
\]
Isoler le terme contenant \(x\)
Pour éliminer le 40, on soustrait 40 des deux côtés : \[
4x+40-40 = 80-40 \quad \Longrightarrow \quad 4x=40
\]
Diviser pour trouver \(x\)
Divisez les deux côtés de l’équation par 4 : \[
\frac{4x}{4}=\frac{40}{4} \quad \Longrightarrow \quad x=10
\]
Conclusion
La solution trouvée est \(S=\{10\}\).
Cette méthode est tout à fait correcte.
Écrire l’équation
\(\displaystyle 4(x+10)=80\)
Soustraire 10 à l’intérieur de la
parenthèse
Ici, l’étudiant propose de soustraire 10 directement dans la parenthèse
sans tenir compte de la multiplication par 4.
On obtient donc :
\[
4x=80
\] Cette opération est incorrecte puisque la parenthèse \(x+10\) doit être traitée dans son ensemble
ou développée avant toute autre opération.
En effet, il faut d’abord développer ou diviser par 4 avant de
soustraire.
Diviser par 4
En continuant avec cette méthode erronée, on divise :
\[
x= \frac{80}{4}=20
\]
Conclusion
La solution proposée est \(S=\{20\}\),
ce qui est faux.
La Méthode 2 est incorrecte car elle ne respecte pas les règles de distribution et de priorité des opérations.
Écrire l’équation
\(\displaystyle 4(x+10)=80\)
Diviser directement par 4
On peut diviser les deux côtés de l’équation par 4 pour simplifier :
\[
\frac{4(x+10)}{4}=\frac{80}{4} \quad \Longrightarrow \quad x+10=20
\]
Isoler \(x\)
Pour trouver \(x\), on soustrait 10 des
deux côtés : \[
x+10-10=20-10 \quad \Longrightarrow \quad x=10
\]
Conclusion
La solution trouvée est \(S=\{10\}\).
La Méthode 3 est donc correcte.
Les Méthode 1 et Méthode 3 mènent à
la solution correcte \(x=10\).
La Méthode 2 est fautive.
Examinons maintenant les trois méthodes proposées pour cette équation.
Écrire l’équation
\(\displaystyle 30-0,6x=12\)
Soustraire 30 des deux côtés
On veut isoler le terme en \(x\), donc
on soustrait 30 : \[
30-0,6x-30=12-30 \quad \Longrightarrow \quad -0,6x=-18
\]
Diviser par \(-0,6\)
Divisons par \(-0,6\) pour isoler \(x\) : \[
\frac{-0,6x}{-0,6}=\frac{-18}{-0,6} \quad \Longrightarrow \quad x=30
\] (Car \(\displaystyle
\frac{-18}{-0,6}=30\))
Conclusion
La solution obtenue est \(S=\{30\}\).
Cette méthode est correcte.
Écrire l’équation
\(\displaystyle 30-0,6x=12\)
Ajouter \(0,6x\) des
deux côtés
En ajoutant \(0,6x\) de part et
d’autre, l’équation devient : \[
30=12+0,6x
\]
Soustraire 12
On soustrait 12 pour isoler le terme en \(x\) : \[
30-12=0,6x \quad \Longrightarrow \quad 18=0,6x
\]
Diviser par 0,6 en omettant le signe négatif
attendu
Ici, l’étudiant divise 18 par 0,6 pour obtenir : \[
x=\frac{18}{0,6}=30
\] Cependant, dans la méthode indiquée dans l’énoncé, il est
mentionné que le signe négatif a été oublié, ce qui conduit à conclure
\(x=-30\).
Ce problème vient d’un oubli attentif de vérifier le signe sur une étape
antérieure lorsqu’on manipule l’équation.
Ainsi, la méthode déclare faussement que \(S=\{-30\}\).
Conclusion
La solution proposée est erronée à cause de l’erreur de signe.
La Méthode 2 est donc incorrecte.
Écrire l’équation
\(\displaystyle 30-0,6x=12\)
Ajouter \(0,6x\) aux
deux côtés
On ramène le \(x\) du côté droit :
\[
30=12+0,6x
\]
Soustraire 30 des deux côtés
Pour isoler \(0,6x\), on soustrait 30 :
\[
12+0,6x-30 = 0,6x-18 \quad \Longrightarrow \quad -18=0,6x
\]
Diviser par 0,6
On divise ensuite par 0,6 : \[
x=\frac{-18}{0,6}=-30
\]
Conclusion
La méthode trouve \(S=\{-30\}\).
Cette méthode est erronée, car en reprenant correctement l’équation de départ, on doit obtenir : \[ 30-0,6x=12 \quad \Longrightarrow \quad -0,6x=12-30 = -18 \quad \Longrightarrow \quad x=\frac{-18}{-0,6}=30. \] La Méthode 3 a commis une erreur lors du déplacement des termes, qui conduit à une mauvaise interprétation du signe.
Cette correction détaillée montre pas à pas comment résoudre chacune des équations correctement.