Exercice : Équations équivalentes et résolution d’équations
Pour chacune des séries suivantes, expliquez comment on passe d’une ligne à la suivante.
\[ 4x - 3 = 9 \\ 4x = 12 \]
\[ 0 = 6x + 7 \\ -7 = 6x \]
\[ 12x = 36 \\ x = 3 \]
\[ 0,25 = \frac{x}{4} \\ x = 1 \]
\[ 5(3x + 2) = 9x + 11 \\ 15x + 10 = 9x + 11 \\ 6x + 10 = 11 \\ 6x = 1 \\ x = \frac{1}{6} \]
Résolvez les équations suivantes.
\[ 5x + 4 = 19 \]
\[ 10x - 3 = 7x + 8 \]
\[ 3(4x - 2) = 2(5x + 1) \]
Réponses succinctes :
Pour passer d’une ligne à l’autre, on effectue une opération
inverse (addition, soustraction, multiplication ou division) appliquée
des deux côtés de l’équation pour isoler le terme en x.
a) 4x – 3 = 9 ⟶ addition de 3 ⟶ 4x = 12
b) 0 = 6x + 7 ⟶ soustraction de 7 ⟶ –7 = 6x
c) 12x = 36 ⟶ division par 12 ⟶ x = 3
d) 0.25 = x/4 ⟶ multiplication par 4 ⟶ x = 1
e) En développant et isolant x, on obtient x = 1/6
Résolution des équations :
a) 5x + 4 = 19 ⟶ x = 3
b) 10x – 3 = 7x + 8 ⟶ x = 11/3
c) 3(4x – 2) = 2(5x + 1) ⟶ x = 4
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Équations :
\[
4x - 3 = 9 \quad \Longrightarrow \quad 4x = 12
\]
Explication :
Pour passer de la première à la deuxième ligne, on ajoute 3 aux deux
côtés de l’équation afin d’isoler le terme contenant \(x\) :
Équations :
\[
0 = 6x + 7 \quad \Longrightarrow \quad -7 = 6x
\]
Explication :
Pour passer de la première à la deuxième ligne, on soustrait 7 des deux
côtés de l’équation :
Équations :
\[
12x = 36 \quad \Longrightarrow \quad x = 3
\]
Explication :
Pour trouver \(x\), il suffit de
diviser les deux côtés de l’équation par 12 :
Équations :
\[
0.25 = \frac{x}{4} \quad \Longrightarrow \quad x = 1
\]
Explication :
Pour isoler \(x\), on multiplie les
deux côtés de l’équation par 4 :
Équations :
\[
\begin{aligned}
5(3x + 2) &= 9x + 11 \\
15x + 10 &= 9x + 11 \\
6x + 10 &= 11 \\
6x &= 1 \\
x &= \frac{1}{6}
\end{aligned}
\]
Explication étape par étape :
1. Développement de la parenthèse :
\[
5(3x+2) = 15x+10.
\] Ainsi, l’équation devient :
\[
15x+10=9x+11.
\]
Isolation des termes en \(x\) :
On soustrait \(9x\) des deux côtés
:
\[
15x - 9x + 10 = 9x - 9x + 11 \quad \Longrightarrow \quad 6x + 10 = 11.
\]
Isolation du terme contenant \(x\) :
On soustrait 10 des deux côtés :
\[
6x + 10 - 10 = 11 - 10 \quad \Longrightarrow \quad 6x = 1.
\]
Résolution pour \(x\)
:
On divise par 6 :
\[
x = \frac{1}{6}.
\]
Équation :
\[
5x + 4 = 19
\]
Étapes de la résolution :
1. Soustraction de 4 des deux côtés :
\[
5x + 4 - 4 = 19 - 4 \quad \Longrightarrow \quad 5x = 15.
\]
Solution :
\[
x = 3.
\]
Équation :
\[
10x - 3 = 7x + 8
\]
Étapes de la résolution :
1. Soustraction de \(7x\) des
deux côtés :
\[
10x - 7x - 3 = 7x - 7x + 8 \quad \Longrightarrow \quad 3x - 3 = 8.
\]
Addition de 3 des deux côtés :
\[
3x - 3 + 3 = 8 + 3 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 11.
\]
Division par 3 :
\[
x = \frac{11}{3}.
\]
Solution :
\[
x = \frac{11}{3}.
\]
Équation :
\[
3(4x-2) = 2(5x+1)
\]
Étapes de la résolution :
1. Développement des parenthèses :
\[
3(4x-2) = 12x - 6 \quad \text{et} \quad 2(5x+1) = 10x + 2.
\]
L’équation devient :
\[
12x - 6 = 10x + 2.
\]
Soustraction de \(10x\)
des deux côtés :
\[
12x - 10x - 6 = 10x - 10x + 2 \quad \Longrightarrow \quad 2x - 6 = 2.
\]
Addition de 6 des deux côtés :
\[
2x - 6 + 6 = 2 + 6 \quad \Longrightarrow \quad 2x = 8.
\]
Division par 2 :
\[
x = \frac{8}{2} = 4.
\]
Solution :
\[
x = 4.
\]
Ces étapes détaillées permettent de comprendre et voir comment chaque opération permet de passer d’une équation à la suivante et d’arriver à la solution des différents exercices.