Exercice 22

Pour chacune des paires d’opérations suivantes, trouvez un nombre qui, appliqué aux deux instructions (celle de gauche et celle de droite), donne le même résultat.

Étiquette de gauche :
1. Multiplier le nombre par \(3{,}5\), puis soustraire \(4\),
2. Soustraire \(5\) au nombre, puis multiplier le résultat par \(3\),
3. Diviser le nombre par \(4\), puis ajouter \(10\),
4. Soustraire \(6\) au nombre, puis ajouter \(8\),
5. Élever le nombre au carré, puis ajouter \(2\).

Étiquette de droite :
1. Multiplier le nombre par \(3\), puis élever le résultat au carré,
2. Ajouter \(2\) au nombre, puis multiplier le résultat par \(3\),
3. Ajouter \(1{,}5\) au nombre, puis multiplier le résultat par \(4\),
4. Multiplier le nombre par \(5\), puis soustraire \(5\),
5. Ajouter \(10\) au nombre, puis diviser le résultat par \(4\),
6. Ajouter \(8\) au nombre, puis soustraire \(6\),
7. Soustraire \(4\) au nombre, puis élever le résultat au carré,
8. Élever le nombre au carré, puis multiplier le résultat par \(3\),
9. Multiplier le nombre par \(5\), puis ajouter \(3\).

Réponse

Réponses :
– Paire 1 : x = 2/3
– Paire 2 : x = –9
– Paire 3 : x = 16/15
– Paire 4 : tout nombre x convient
– Paire 5 : x = 1 (la solution x = –1 est aussi acceptable)

Corrigé détaillé

Nous allons montrer, pour chacune des paires d’opérations choisies, comment déterminer un nombre (noté \(x\)) qui, lorsqu’il est utilisé dans chacune des deux instructions, donne le même résultat. Pour cela, nous traduisons chaque opération en expression algébrique et nous résolvons l’équation \(\text{expression de gauche} = \text{expression de droite}\).

Remarque : Les instructions offrent de nombreux choix. Ici, nous allons former les cinq paires suivantes :

• Paire 1 :
  Étiquette gauche 1 et Étiquette droite 4
  
• Paire 2 :
  Étiquette gauche 2 et Étiquette droite 9
  
• Paire 3 :
  Étiquette gauche 3 et Étiquette droite 3
  
• Paire 4 :
  Étiquette gauche 4 et Étiquette droite 6
  
• Paire 5 :
  Étiquette gauche 5 et Étiquette droite 8

Nous détaillons maintenant la résolution de chacune.

---

Paire 1 :

Opérations choisies :
- Étiquette gauche 1 : « Multiplier le nombre par \(3,5\), puis soustraire \(4\). »
- Étiquette droite 4 : « Multiplier le nombre par \(5\), puis soustraire \(5\). »

Traduction en expressions :

• Pour la gauche, on obtient
  \[ f_1(x) = 3,5\,x - 4. \]
• Pour la droite, on a
  \[ g_4(x) = 5x - 5. \]

Équation à résoudre :
On cherche \(x\) tel que \[ 3,5\,x - 4 = 5x - 5. \]

Étapes de résolution :

1. Soustraire \(3,5\,x\) de chaque côté : \[ -4 = 5x - 3,5x - 5. \]
2. Simplifier \(5x - 3,5x = 1,5\,x\) : \[ -4 = 1,5\,x - 5. \]
3. Ajouter \(5\) aux deux côtés : \[ -4 + 5 = 1,5\,x \quad \Longrightarrow \quad 1 = 1,5\,x. \]
4. Diviser par \(1,5\) : \[ x = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}. \]

Conclusion pour la paire 1 :
Le nombre recherché est \(\displaystyle \frac{2}{3}\).

---

Paire 2 :

Opérations choisies :
- Étiquette gauche 2 : « Soustraire \(5\) au nombre, puis multiplier le résultat par \(3\). »
- Étiquette droite 9 : « Multiplier le nombre par \(5\), puis ajouter \(3\). »

Traduction en expressions :

• Pour la gauche, on écrit
  \[ f_2(x) = 3(x - 5) = 3x - 15. \]
• Pour la droite, on a
  \[ g_9(x) = 5x + 3. \]

Équation à résoudre :
On pose \[ 3x - 15 = 5x + 3. \]

Étapes de résolution :

1. Soustraire \(3x\) des deux côtés : \[ -15 = 2x + 3. \]
2. Soustraire \(3\) aux deux côtés : \[ -15 - 3 = 2x \quad \Longrightarrow \quad -18 = 2x. \]
3. Diviser par \(2\) : \[ x = \frac{-18}{2} = -9. \]

Conclusion pour la paire 2 :
Le nombre recherché est \(-9\).

---

Paire 3 :

Opérations choisies :
- Étiquette gauche 3 : « Diviser le nombre par \(4\), puis ajouter \(10\). »
- Étiquette droite 3 : « Ajouter \(1,5\) au nombre, puis multiplier le résultat par \(4\). »

Traduction en expressions :

• Pour la gauche, on obtient
  \[ f_3(x) = \frac{x}{4} + 10. \]
• Pour la droite, on écrit
  \[ g_3(x) = 4\,(x + 1,5) = 4x + 6. \]

Équation à résoudre :
On cherche \(x\) tel que \[ \frac{x}{4} + 10 = 4x + 6. \]

Étapes de résolution :

1. Multiplier l’équation par \(4\) pour éliminer le dénominateur : \[ x + 40 = 16x + 24. \]
2. Réorganiser : \[ 40 - 24 = 16x - x \quad \Longrightarrow \quad 16 = 15x. \]
3. Diviser par \(15\) : \[ x = \frac{16}{15}. \]

Conclusion pour la paire 3 :
Le nombre recherché est \(\displaystyle \frac{16}{15}\).

---

Paire 4 :

Opérations choisies :
- Étiquette gauche 4 : « Soustraire \(6\) au nombre, puis ajouter \(8\). »
- Étiquette droite 6 : « Ajouter \(8\) au nombre, puis soustraire \(6\). »

Traduction en expressions :

• Pour la gauche, on a
  \[ f_4(x) = x - 6 + 8 = x + 2. \]
• Pour la droite, on obtient exactement
  \[ g_6(x) = x + 8 - 6 = x + 2. \]

Équation à résoudre :
Nous avons \[ x + 2 = x + 2. \]

Cette équation est satisfaite pour tout \(x\).

Conclusion pour la paire 4 :
Quel que soit le nombre choisi, le résultat est identique. Autrement dit, tout nombre convient.

---

Paire 5 :

Opérations choisies :
- Étiquette gauche 5 : « Élever le nombre au carré, puis ajouter \(2\). »
- Étiquette droite 8 : « Élever le nombre au carré, puis multiplier le résultat par \(3\). »

Traduction en expressions :

• Pour la gauche, l’expression est
  \[ f_5(x) = x^2 + 2. \]
• Pour la droite, on a
  \[ g_8(x) = 3x^2. \]

Équation à résoudre :
On pose \[ x^2 + 2 = 3x^2. \]

Étapes de résolution :

1. Isoler les termes en \(x^2\) :
   \[ 2 = 3x^2 - x^2 = 2x^2. \]
2. Diviser par \(2\) :
   \[ x^2 = 1. \]
3. En déduire les solutions :
   \[ x = 1 \quad \text{ou} \quad x = -1. \]

On peut retenir \(x = 1\) comme solution simple.

Conclusion pour la paire 5 :
Un nombre qui convient est \(1\) (la solution \(-1\) convient également).

---

Récapitulatif des solutions

• Paire 1 (gauche 1 et droite 4) : \(x = \displaystyle \frac{2}{3}\).
• Paire 2 (gauche 2 et droite 9) : \(x = -9\).
• Paire 3 (gauche 3 et droite 3) : \(x = \displaystyle \frac{16}{15}\).
• Paire 4 (gauche 4 et droite 6) : Tout nombre \(x\) convient.
• Paire 5 (gauche 5 et droite 8) : \(x = 1\) (ou \(x = -1\)).

Ainsi, nous avons trouvé, pour chacune des paires choisies, un nombre qui, appliqué aux deux instructions, donne le même résultat.