Louis et Sophie possèdent le même nombre de jetons. Louis organise ses jetons pour former un carré et il lui reste \(28\) jetons. Sophie tente de constituer un carré dont le côté est augmenté de \(2\) par rapport à celui de Louis, mais il lui manque \(16\) jetons pour le compléter.
Combien de jetons chaque personne possède-t-elle ?
Louis et Sophie possèdent 128 jetons.
Nous allons résoudre le problème en posant une équation à partir des informations données.
Soit \(n\) le nombre de jetons du
côté du carré formé par Louis.
- Louis organise ses jetons pour former un carré de
côté \(n\). Il utilise donc \(n^2\) jetons et il lui reste \(28\) jetons.
Ainsi, le nombre total de jetons que possède Louis est : \[
N = n^2 + 28.
\]
Puisque Louis et Sophie possèdent le même nombre de jetons, on peut écrire l’équation suivante.
Nous avons donc : \[ n^2 + 28 = (n+2)^2 - 16. \]
Développons le terme \((n+2)^2\) : \[ (n+2)^2 = n^2 + 4n + 4. \]
L’équation devient alors : \[ n^2 + 28 = n^2 + 4n + 4 - 16. \]
Simplifions le côté droit : \[ n^2 + 28 = n^2 + 4n - 12. \]
Pour résoudre cette équation, commençons par soustraire \(n^2\) des deux côtés : \[ 28 = 4n - 12. \]
Ajoutons \(12\) aux deux côtés pour isoler le terme contenant \(n\) : \[ 28 + 12 = 4n, \] \[ 40 = 4n. \]
Divisons ensuite par \(4\) : \[ n = \frac{40}{4} = 10. \]
Maintenant, nous pouvons calculer le nombre total de jetons \(N\) avec la formule de Louis : \[ N = n^2 + 28. \]
En remplaçant \(n\) par \(10\) : \[ N = 10^2 + 28 = 100 + 28 = 128. \]
Louis et Sophie possèdent chacune : \[ \boxed{128 \text{ jetons}}. \]
Cette solution repose sur la mise en place d’une équation qui exprime la même quantité de jetons selon deux manières différentes (selon Louis et Sophie) et sur la résolution de cette équation étape par étape.