Question: Énoncé
Après un tournoi de basket-ball, 140 foulards sont distribués parmi sept
joueurs. Le premier reçoit le plus, le deuxième en reçoit 3 de moins que
le premier, le troisième 3 de moins que le deuxième, et ainsi de suite
jusqu’au septième.
Soit \(a_1\) le nombre de foulards
reçus par le premier joueur et \(a_n = a_1 -
3(n-1)\) pour \(n = 1, 2, \dots,
7\). L’équation suivante donne la somme totale des foulards
distribués :
\[
\sum_{n=1}^{7} a_n = 140.
\]
Calculez le nombre de foulards reçus par le quatrième joueur.
Le quatrième joueur reçoit 20 foulards.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On nous indique que le nombre de foulards reçus par le \(n\)-ième joueur est donné par : \[ a_n = a_1 - 3(n-1) \] où \(a_1\) est le nombre de foulards reçus par le premier joueur.
Le problème précise que la somme totale des foulards distribués à 7 joueurs est de 140, ce qui s’écrit : \[ \sum_{n=1}^{7} a_n = 140. \]
En développant, on obtient : \[ a_1 + (a_1 - 3) + (a_1 - 6) + (a_1 - 9) + (a_1 - 12) + (a_1 - 15) + (a_1 - 18) = 140. \]
Rassemblons tous les \(a_1\) et les nombres : \[ 7a_1 - (3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18) = 140. \]
Calculons la somme des nombres soustraits : - D’abord, remarquons que ces nombres forment une progresssion arithmétique dont la somme peut se calculer soit directement, soit par la formule de la somme d’une suite arithmétique.
Calculons directement : \[ 3 + 6 = 9,\quad 9 + 9 = 18,\quad 18 + 12 = 30,\quad 30 + 15 = 45,\quad 45 + 18 = 63. \]
La somme est donc égale à 63. Ainsi, nous avons : \[ 7a_1 - 63 = 140. \]
Nous résolvons l’équation : \[ 7a_1 = 140 + 63 = 203. \] \[ \Longrightarrow a_1 = \frac{203}{7} = 29. \]
Le premier joueur reçoit donc 29 foulards.
Pour le quatrième joueur, \(n = 4\). On utilise la formule : \[ a_4 = a_1 - 3(4-1). \]
Calculons : \[ a_4 = 29 - 3 \times 3 = 29 - 9 = 20. \]
Le quatrième joueur reçoit \(\boxed{20}\) foulards.