Problème d’Héritage
Un grand-père laisse une somme d’argent à ses quatre petits-enfants, répartie de la manière suivante :
Déterminer le montant total du trésor \(T\) ainsi que la somme reçue par chacun des petits-enfants.
Le trésor total vaut 4400 euros, ce qui donne :
• Premier petit-enfant : 1400 euros
• Deuxième petit-enfant : 2900/3 euros (≈966,67 euros)
• Troisième petit-enfant : 1100 euros
• Quatrième petit-enfant : 2800/3 euros (≈933,33 euros)
Nous devons déterminer le montant total du trésor \(T\) en établissant une équation qui traduit la répartition entre les quatre petits-enfants.
D’après l’énoncé, on sait que : - Le premier petit-enfant reçoit : \[ \frac{1}{2}T - 800. \] - Le deuxième petit-enfant reçoit : \[ \frac{1}{3}T - 500. \] - Le troisième petit-enfant reçoit : \[ \frac{1}{4}T. \] - Le quatrième petit-enfant reçoit : \[ 200 + \frac{1}{6}T. \]
La somme de ces montants est égale à \(T\), c’est-à-dire : \[ \left(\frac{1}{2}T - 800\right) + \left(\frac{1}{3}T - 500\right) + \frac{1}{4}T + \left(200 + \frac{1}{6}T\right) = T. \]
Rassemblons d’abord les termes en \(T\) : \[ \frac{1}{2}T + \frac{1}{3}T + \frac{1}{4}T + \frac{1}{6}T. \]
Pour les constantes, nous avons : \[ -800 - 500 + 200. \]
Calculons ces constantes : \[ -800 - 500 + 200 = -1100. \]
Pour additionner les coefficients, il est utile de trouver un dénominateur commun. Le dénominateur commun pour 2, 3, 4 et 6 est 12. Nous récrivons chaque fraction : - \(\displaystyle \frac{1}{2}T = \frac{6}{12}T,\) - \(\displaystyle \frac{1}{3}T = \frac{4}{12}T,\) - \(\displaystyle \frac{1}{4}T = \frac{3}{12}T,\) - \(\displaystyle \frac{1}{6}T = \frac{2}{12}T.\)
Alors, \[ \frac{6}{12}T + \frac{4}{12}T + \frac{3}{12}T + \frac{2}{12}T = \frac{6+4+3+2}{12}T = \frac{15}{12}T. \]
On peut simplifier \(\frac{15}{12}\) en \(\frac{5}{4}\). Ainsi, l’équation devient : \[ \frac{5}{4}T - 1100 = T. \]
Il s’agit d’isoler \(T\). Commençons par réécrire l’équation : \[ \frac{5}{4}T - 1100 = T. \]
Isolons les termes en \(T\) en soustrayant \(T\) des deux côtés : \[ \frac{5}{4}T - T = 1100. \]
Calculons \(\frac{5}{4}T - T\) en remarquant que \(T = \frac{4}{4}T\) : \[ \frac{5T - 4T}{4} = \frac{T}{4}. \]
L’équation se simplifie donc en : \[ \frac{T}{4} = 1100. \]
Pour trouver \(T\), multiplions les deux côtés par 4 : \[ T = 1100 \times 4 = 4400. \]
Le montant total du trésor est donc \(\boxed{4400 \text{ euros}}\).
Nous retrouvons maintenant la somme reçue par chaque petit-enfant en remplaçant \(T = 4400\) dans les expressions données.
Premier petit-enfant : \[ \frac{1}{2}T - 800 = \frac{1}{2} \times 4400 - 800 = 2200 - 800 = 1400 \text{ euros}. \]
Deuxième petit-enfant : \[ \frac{1}{3}T - 500 = \frac{1}{3} \times 4400 - 500 = \frac{4400}{3} - 500. \] Pour écrire ce résultat sous forme de fraction : \[ \frac{4400}{3} - 500 = \frac{4400 - 1500}{3} = \frac{2900}{3} \text{ euros} \quad (\text{soit environ }966,67\text{ euros}). \]
Troisième petit-enfant : \[ \frac{1}{4}T = \frac{1}{4} \times 4400 = 1100 \text{ euros}. \]
Quatrième petit-enfant : \[ 200 + \frac{1}{6}T = 200 + \frac{1}{6} \times 4400 = 200 + \frac{4400}{6}. \] Simplifions \(\frac{4400}{6}\) en réduisant la fraction par 2 : \[ \frac{4400}{6} = \frac{2200}{3}. \] Ainsi, \[ 200 + \frac{2200}{3}. \] Pour le mettre sous une même dénominateur, écrivez 200 en fraction avec le dénominateur 3 : \[ 200 = \frac{600}{3}. \] Donc, \[ \frac{600}{3} + \frac{2200}{3} = \frac{2800}{3} \text{ euros} \quad (\text{soit environ }933,33\text{ euros}). \]
Le montant total du trésor est :
\[ \boxed{4400 \text{ euros}} \]
La répartition se fait de la manière suivante : - Premier petit-enfant : \(1400 \text{ euros}\). - Deuxième petit-enfant : \(\displaystyle \frac{2900}{3} \text{ euros}\) (environ \(966,67\) euros). - Troisième petit-enfant : \(1100 \text{ euros}\). - Quatrième petit-enfant : \(\displaystyle \frac{2800}{3} \text{ euros}\) (environ \(933,33\) euros).
Chaque étape a permis de comprendre comment traduire l’énoncé en équation et trouver le montant total ainsi que la répartition entre les petits-enfants.