Question: Exercice
Divisez 532 en deux parties, notées \(x\) et \(y\), telles que \[ x + 17 = \frac{y}{17}. \]
Réponse : x = 13,5 et y = 518,5.
Voici une solution détaillée pour résoudre le problème.
Énoncé du problème :
On souhaite diviser 532 en deux parties, notées \(x\) et \(y\), telles que \[ x + 17 = \frac{y}{17}. \] De plus, la somme des deux parties est donnée par \[ x + y = 532. \]
Étape 1 : Exprimer \(y\) en fonction de \(x\)
La condition donnée est : \[ x + 17 = \frac{y}{17}. \] Pour éliminer la fraction, multiplions les deux côtés de l’équation par 17 : \[ 17 (x + 17) = y. \] Développons le côté gauche : \[ 17x + 289 = y. \] On a donc exprimé \(y\) en fonction de \(x\) : \[ y = 17x + 289. \]
Étape 2 : Utiliser la somme des deux parties
On sait que \(x + y = 532\). Remplaçons \(y\) par l’expression que nous avons trouvée : \[ x + (17x + 289) = 532. \] Simplifions l’équation : \[ 18x + 289 = 532. \]
Étape 3 : Isoler \(x\) et le calculer
Pour isoler \(x\), soustrayons 289 des deux côtés de l’équation : \[ 18x = 532 - 289. \] Calculons \(532 - 289\) : \[ 532 - 289 = 243. \] Nous avons donc : \[ 18x = 243. \] Pour trouver \(x\), divisons par 18 : \[ x = \frac{243}{18} = \frac{27}{2}. \] En décimal, cela donne : \[ x = 13,5. \]
Étape 4 : Déterminer \(y\)
Nous avions l’expression : \[ y = 17x + 289. \] Substituons la valeur de \(x\) : \[ y = 17 \times \frac{27}{2} + 289. \] D’abord, calculons \(17 \times \frac{27}{2}\) : \[ 17 \times \frac{27}{2} = \frac{459}{2}. \] Ensuite, écrivons 289 avec le même dénominateur : \[ 289 = \frac{578}{2}. \] On obtient donc : \[ y = \frac{459}{2} + \frac{578}{2} = \frac{459 + 578}{2} = \frac{1037}{2}. \] En décimal, cela donne : \[ y = 518,5. \]
Étape 5 : Vérification de la condition
Vérifions que la condition \(x + 17 = \frac{y}{17}\) est bien satisfaite :
Calcul de \(x + 17\) : \[ 13,5 + 17 = 30,5. \] Calcul de \(\frac{y}{17}\) : \[ \frac{518,5}{17} = 30,5. \] La condition est donc vérifiée.
Conclusion :
Les deux parties que nous avons trouvées sont :
\[ \boxed{x = \frac{27}{2} \quad \text{et} \quad y = \frac{1037}{2}}, \]
ce qui équivaut à : \[ \boxed{x = 13,5 \quad \text{et} \quad y = 518,5.} \]
Cette solution respecte la condition imposée et satisfait la somme totale de 532.