Exercice 15

Exercice :
Luna, la fermière, déclare : « Au quart du nombre total (\(\frac{n}{4}\)), ajoutez dix chèvres et vous obtiendrez les trois cinquièmes (\(\frac{3n}{5}\)) de mon troupeau. »

Déterminez le nombre de chèvres que possède Luna.

Réponse

Le calcul montre que n = 200/7, soit environ 28,57 chèvres, ce qui n’est pas un nombre entier.

Corrigé détaillé

Nous partons de l’énoncé suivant :
« Au quart du nombre total (\(\frac{n}{4}\)), ajoutez dix chèvres et vous obtiendrez les trois cinquièmes (\(\frac{3n}{5}\)) de mon troupeau. »

Nous pouvons traduire cette phrase en équation :

\[ \frac{n}{4} + 10 = \frac{3n}{5} \]

Voici les étapes de la résolution :

1. Isoler l’équation et éliminer les fractions :
   Pour éviter de travailler avec des fractions, nous allons multiplier chaque terme de l’équation par le plus petit dénominateur commun aux fractions. Ici, les dénominateurs sont 4 et 5, et le plus petit commun multiple de 4 et 5 est 20.

   Multiplions chaque terme par 20 :

   \[ 20 \times \frac{n}{4} + 20 \times 10 = 20 \times \frac{3n}{5} \]

2. Calculer la multiplication :

   • Pour le premier terme :
     \[ 20 \times \frac{n}{4} = 5n \quad \text{(car }20 \div 4 = 5\text{)} \]
   • Pour le second terme :
     \[ 20 \times 10 = 200 \]
   • Pour le troisième terme :
     \[ 20 \times \frac{3n}{5} = 12n \quad \text{(car }20 \div 5 = 4 \text{ et } 4 \times 3n = 12n\text{)} \]

   Ainsi, l’équation devient :

   \[ 5n + 200 = 12n \]

3. Résoudre l’équation pour \(n\) :
   Nous voulons isoler \(n\). Pour ce faire, soustrayons \(5n\) des deux côtés de l’équation :

   \[ 5n + 200 - 5n = 12n - 5n \]

   Ce qui simplifie en :

   \[ 200 = 7n \]

   Pour trouver \(n\), divisons chaque côté de l’équation par 7 :

   \[ n = \frac{200}{7} \]

4. Interprétation du résultat :
   Le nombre de chèvres, \(n\), est donc obtenu sous la forme d’une fraction :

   \[ n = \frac{200}{7} \approx 28,57 \]

   Or, dans un contexte pratique (compter des chèvres), on attend un nombre entier. Cela signifie que, d’après l’énoncé et les calculs, la situation décrite ne conduit pas à un nombre entier de chèvres.

   Il est possible que l’énoncé contienne une imprécision ou que Lionel ait voulu illustrer un problème qui met en évidence une contradiction dans la déclaration. Mais mathématiquement, la solution suivante est obtenue :

\[ \boxed{n = \frac{200}{7}} \]

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Conclusion :
Le calcul montre que, selon l’équation \(\frac{n}{4} + 10 = \frac{3n}{5}\), le troupeau de Luna contient \(\frac{200}{7}\) chèvres, ce qui correspond environ à 28,57 chèvres. En pratique, comme le nombre de chèvres doit être entier, cela suggère que l’énoncé ne produirait pas une solution pratique si Luna devait avoir un nombre exact de chèvres.