Exercice 12

Question : Soit un élève qui doit résoudre \(30\) problèmes. Pour chaque problème bien résolu, il reçoit \(9\) points, et pour chaque problème mal résolu, il perd \(6\) points. À l’issue des \(30\) problèmes, le total des points obtenus est égal au total des points perdus.

Trouver le nombre de problèmes que l’élève a correctement résolus.

Réponse

L’élève a correctement résolu 12 problèmes.

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer le nombre de problèmes correctement résolus en posant \(x\) comme le nombre de problèmes bien résolus par l’élève. Ainsi, le nombre de problèmes mal résolus sera \(30 - x\).

Étape 1 : Expression des points obtenus et perdus

• Pour chaque problème bien résolu, l’élève gagne \(9\) points.
  Donc, le total des points obtenus est : \[ 9x \]

• Pour chaque problème mal résolu, l’élève perd \(6\) points.
  Ainsi, le total des points perdus est : \[ 6(30 - x) \]

Étape 2 : Mise en place de l’équation

D’après l’énoncé, le total des points obtenus est égal au total des points perdus. On a donc : \[ 9x = 6(30 - x) \]

Étape 3 : Résolution de l’équation

1. Développons le terme de droite : \[ 9x = 180 - 6x \]

2. Rassemblons les termes en \(x\) en ajoutant \(6x\) des deux côtés : \[ 9x + 6x = 180 \] \[ 15x = 180 \]

3. Divisons ensuite par \(15\) pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{180}{15} = 12 \]

Étape 4 : Conclusion

L’élève a résolu correctement \(12\) problèmes.

En résumé, la solution à l’exercice est que l’élève a correctement résolu \(\boxed{12}\) problèmes.