Exercice 9

Question: Exercice 1
La somme de cinq nombres naturels consécutifs est \(200\). Déterminez le plus petit de ces nombres.

Exercice 2
Alice a acheté deux billets pour la tribune \(B\) et il lui reste 60 francs. Mathieu a acheté cinq billets pour la même tribune et il lui reste 30 francs. Déterminez le prix d’un billet.

Réponse

Exercice 1 : Le plus petit des cinq nombres est 38.
Exercice 2 : Le prix d’un billet est de 10 francs.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacun des exercices.

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Exercice 1

Énoncé :
La somme de cinq nombres naturels consécutifs est \(200\). Déterminez le plus petit de ces nombres.

Correction :

1. Définir la suite des nombres
   Soit \(x\) le plus petit des cinq nombres. Les nombres consécutifs s’écrivent donc :
   \[ x,\; x+1,\; x+2,\; x+3,\; x+4. \]

2. Exprimer la somme
   La somme de ces cinq nombres est :
   \[ S = x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4). \] En regroupant les termes semblables :
   \[ S = 5x + (1+2+3+4). \] Calculons la somme des constantes :
   \[ 1+2+3+4 = 10. \] Ainsi, on a :
   \[ S = 5x + 10. \]

3. Utiliser l’information donnée
   D’après l’énoncé, la somme est égale à \(200\). On obtient l’équation :
   \[ 5x + 10 = 200. \]

4. Résoudre l’équation
   Soustraire 10 des deux côtés :
   \[ 5x = 200 - 10 \quad \Rightarrow \quad 5x = 190. \] Diviser par 5 :
   \[ x = \frac{190}{5} = 38. \]

5. Conclusion
   Le plus petit des cinq nombres est donc 38.

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Exercice 2

Énoncé :
Alice a acheté deux billets pour la tribune \(B\) et il lui reste 60 francs. Mathieu a acheté cinq billets pour la même tribune et il lui reste 30 francs. Déterminez le prix d’un billet.

Correction :

Il est raisonnable de penser qu’Alice et Mathieu disposaient tous deux de la même somme d’argent avant d’acheter les billets. Nous allons appeler cette somme initiale \(S\) et le prix d’un billet \(p\).

1. Écrire les expressions pour le reste d’argent

   • Pour Alice qui a acheté 2 billets et il lui reste 60 francs :
     \[ S - 2p = 60. \]
   • Pour Mathieu qui a acheté 5 billets et il lui reste 30 francs :
     \[ S - 5p = 30. \]

2. Former un système d’équations
   Nous avons ainsi le système suivant :
   \[ \begin{cases} S - 2p = 60,\\[1mm] S - 5p = 30. \end{cases} \]

3. Eliminer \(S\) pour trouver \(p\)
   Soustrayons la deuxième équation de la première : \[ (S - 2p) - (S - 5p) = 60 - 30. \] Développons le côté gauche : \[ S - 2p - S + 5p = 3p. \] Et le côté droit : \[ 60 - 30 = 30. \] Ainsi, on obtient : \[ 3p = 30. \]

4. Résoudre pour \(p\)
   Divisons par 3 des deux côtés : \[ p = \frac{30}{3} = 10. \]

5. Vérification
   Pour s’assurer que le résultat est correct, retrouvons \(S\) en utilisant l’une des deux équations. Par exemple, avec \(S - 2p = 60\) et \(p = 10\) :
   \[ S - 2 \times 10 = 60 \quad \Rightarrow \quad S - 20 = 60 \quad \Rightarrow \quad S = 80. \] Vérifions dans la deuxième équation :
   \[ 80 - 5 \times 10 = 80 - 50 = 30, \] ce qui est bien cohérent avec l’énoncé.

6. Conclusion
   Le prix d’un billet est donc de 10 francs.

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Ces solutions montrent, pas à pas, comment utiliser les opérations de base pour modéliser et résoudre les problèmes donnés.