Exercice 8

Question : Exercice

Traduis chaque situation par une équation, puis détermine les solutions.

1. 1. Soit \(x\) un nombre. Si on soustrait 4 à son triple, on obtient la moitié de son quadruple.
      \[ 3x - 4 = \frac{4x}{2} \]
2. 2. Soit \(x\) un nombre. Si on ajoute 12 à ce nombre, le résultat est 8 de moins que son double.
      \[ x + 12 = 2x - 8 \]
3. 3. Soit \(x\) un nombre. Si on lui retranche 9, le résultat est égal au tiers du nombre.
      \[ x - 9 = \frac{x}{3} \]
4. 4. Soit \(x\) un nombre. Si l’on multiplie par 3 le tiers du cinquième de \(x\), le résultat est égal à 4 fois le cinquième de \(x\).
      \[ 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{x}{5} = 4 \times \frac{x}{5} \]

Réponse

1. x = 4
   
2. x = 20
   
3. x = 27/2 (ou 13,5)
   
4. x = 0

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque situation :

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1. Problème a)

Énoncé :
« Soit \(x\) un nombre. Si on soustrait 4 à son triple, on obtient la moitié de son quadruple. »

Équation donnée :
\[ 3x - 4 = \frac{4x}{2} \]

Étapes de résolution :

1. Simplifier l’équation :
   On remarque que \(\frac{4x}{2}\) se simplifie en \(2x\). Ainsi, l’équation devient : \[ 3x - 4 = 2x \]

2. Isoler le terme contenant \(x\) :
   Pour isoler \(x\), soustrayons \(2x\) des deux côtés de l’équation : \[ 3x - 2x - 4 = 2x - 2x \] Ce qui donne : \[ x - 4 = 0 \]

3. Trouver la solution :
   En ajoutant 4 aux deux côtés, on obtient : \[ x = 4 \]

Solution de a) : \(x = 4\)

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2. Problème b)

Énoncé :
« Soit \(x\) un nombre. Si on ajoute 12 à ce nombre, le résultat est 8 de moins que son double. »

Équation donnée :
\[ x + 12 = 2x - 8 \]

Étapes de résolution :

1. Déplacer les termes en \(x\) :
   Pour regrouper les termes avec \(x\) d’un côté, soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ x + 12 - x = 2x - 8 - x \] Ce qui simplifie à : \[ 12 = x - 8 \]

2. Isoler \(x\) :
   Ajoutons 8 aux deux côtés de l’équation pour isoler \(x\) : \[ 12 + 8 = x - 8 + 8 \] Ce qui donne : \[ 20 = x \]

Solution de b) : \(x = 20\)

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3. Problème c)

Énoncé :
« Soit \(x\) un nombre. Si on lui retranche 9, le résultat est égal au tiers du nombre. »

Équation donnée :
\[ x - 9 = \frac{x}{3} \]

Étapes de résolution :

1. Éliminer la fraction :
   Multiplions chaque côté de l’équation par 3 pour se débarrasser du dénominateur : \[ 3(x - 9) = 3\left(\frac{x}{3}\right) \] Ce qui donne : \[ 3x - 27 = x \]

2. Isoler \(x\) :
   Soustrayons \(x\) des deux côtés pour regrouper les termes en \(x\) : \[ 3x - x - 27 = x - x \] Ce qui simplifie à : \[ 2x - 27 = 0 \]

3. Résoudre pour \(x\) :
   Ajoutons 27 aux deux côtés : \[ 2x = 27 \] Puis divisons par 2 : \[ x = \frac{27}{2} \]

Solution de c) : \(x = \frac{27}{2}\) ou \(x = 13,5\)

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4. Problème d)

Énoncé :
« Soit \(x\) un nombre. Si l’on multiplie par 3 le tiers du cinquième de \(x\), le résultat est égal à 4 fois le cinquième de \(x\). »

Équation donnée :
\[ 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{x}{5} = 4 \times \frac{x}{5} \]

Étapes de résolution :

1. Simplifier le membre de gauche :
   Calculons \(3 \times \frac{1}{3}\) qui vaut 1. L’équation devient alors : \[ \frac{x}{5} = 4 \times \frac{x}{5} \]

2. Isoler \(x\) :
   Pour éliminer le dénominateur, multiplions chaque côté par 5 : \[ x = 4x \]

3. Trouver la solution :
   Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ x - x = 4x - x \] Ce qui donne : \[ 0 = 3x \] En divisant par 3, on obtient : \[ x = 0 \]

Solution de d) : \(x = 0\)

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Récapitulatif des solutions :

• 1. \(x = 4\)
• 2. \(x = 20\)
• 3. \(x = \frac{27}{2}\) (ou \(13,5\))
• 4. \(x = 0\)

Cette démarche permet de traduire chacune des situations en équations et de les résoudre pas à pas en isolant la variable et en appliquant des opérations de base.