Exercice 7

Question: Exercice. Équations et problèmes

Résoudre les équations suivantes :

  1. , \(12x = 36\)
  2. , \(8 = 4x\)
  3. , \(5x + 3 = 3x + 3\)
  4. , \(22 - 2.5x = 22\)
  5. , \(3(x + 2) = x\)
  6. , \(x - 3x = -8\)
  7. , \(6x + 15 = 6x + 15\)
  8. , \(9x + 12x = 42x - 9\)
  9. , \(24 = \frac{6 + x}{7}\)
  10. , \(15 + (10 - x) = 20\)
  11. , \(200 = 600 - 3x\)
  12. , \(\frac{6x + 3}{3} = 11\)
  13. , \(8(x + 5) = 88\)
  14. , \(6(x + 2) = 8x + 5 - 3x\)
  15. , \(x - 10 = 25\)
  16. , \(7 - \frac{x}{4} = \frac{3}{2}\)

Résoudre également des problèmes en utilisant des équations.

Réponse

Réponses :

  1. x = 3
  2. x = 2
  3. x = 0
  4. x = 0
  5. x = –3
  6. x = 4
  7. Pour tout x
  8. x = 3/7
  9. x = 162
  10. x = 5
  11. x = 400/3
  12. x = 5
  13. x = 6
  14. x = –7
  15. x = 35
  16. x = 22

Exemple appliqué : Un nombre augmenté de 3 puis multiplié par 5 donne 40. Ainsi, x = 5.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice avec une explication détaillée étape par étape en français. Nous allons résoudre chacune des équations (a) à (p) et proposer ensuite un exemple de problème à résoudre par équation.

Partie 1 : Résolution des équations

a) \(12x = 36\)
  1. Pour isoler \(x\), divisez les deux côtés par 12.
  2. Calcul :
    \[ x = \frac{36}{12} = 3. \]
b) \(8 = 4x\)
  1. Divisez les deux côtés de l’équation par 4 pour isoler \(x\).
  2. Calcul :
    \[ x = \frac{8}{4} = 2. \]
c) \(5x + 3 = 3x + 3\)
  1. Soustrayez \(3x\) de chaque côté pour regrouper les termes en \(x\) :
    \[ 5x - 3x + 3 = 3. \] Ce qui donne :
    \[ 2x + 3 = 3. \]
  2. Soustrayez 3 de chaque côté :
    \[ 2x = 0. \]
  3. Divisez par 2 pour isoler \(x\) :
    \[ x = 0. \]
d) \(22 - 2.5x = 22\)
  1. Soustrayez 22 des deux côtés :
    \[ -2.5x = 0. \]
  2. Divisez par \(-2.5\) :
    \[ x = 0. \]
e) \(3(x + 2) = x\)
  1. Développez le côté gauche :
    \[ 3x + 6 = x. \]
  2. Soustrayez \(x\) de chaque côté :
    \[ 3x - x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 = 0. \]
  3. Soustrayez 6 de chaque côté :
    \[ 2x = -6. \]
  4. Divisez par 2 :
    \[ x = -3. \]
f) \(x - 3x = -8\)
  1. Combinez les termes semblables à gauche :
    \[ -2x = -8. \]
  2. Divisez par \(-2\) :
    \[ x = 4. \]
g) \(6x + 15 = 6x + 15\)
  1. Ici, l’expression de gauche est égale à l’expression de droite pour tout \(x\).
    Réponse : L’équation est vraie pour tous les réels, c’est-à-dire que \(x\) peut être n’importe quel nombre.
h) \(9x + 12x = 42x - 9\)
  1. Additionnez les termes en \(x\) à gauche :
    \[ 9x + 12x = 21x. \] L’équation devient :
    \[ 21x = 42x - 9. \]
  2. Soustrayez \(42x\) des deux côtés :
    \[ 21x - 42x = -9 \quad \Rightarrow \quad -21x = -9. \]
  3. Divisez par \(-21\) :
    \[ x = \frac{-9}{-21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}. \]
i) \(24 = \frac{6 + x}{7}\)
  1. Multipliez chaque côté par 7 pour éliminer la fraction :
    \[ 24 \times 7 = x + 6. \] Soit :
    \[ 168 = x + 6. \]
  2. Soustrayez 6 de chaque côté :
    \[ x = 168 - 6 = 162. \]
j) \(15 + (10 - x) = 20\)
  1. Simplifiez le côté gauche :
    \[ 15 + 10 - x = 25 - x. \] L’équation devient :
    \[ 25 - x = 20. \]
  2. Soustrayez 25 des deux côtés :
    \[ -x = 20 - 25 = -5. \]
  3. Multipliez par \(-1\) pour obtenir \(x\) positif :
    \[ x = 5. \]
k) \(200 = 600 - 3x\)
  1. Soustrayez 600 des deux côtés :
    \[ 200 - 600 = -3x \quad \Rightarrow \quad -400 = -3x. \]
  2. Divisez par \(-3\) :
    \[ x = \frac{-400}{-3} = \frac{400}{3}. \]
l) \(\frac{6x + 3}{3} = 11\)
  1. Multipliez chaque côté par 3 pour éliminer la fraction :
    \[ 6x + 3 = 11 \times 3 = 33. \]
  2. Soustrayez 3 de chaque côté :
    \[ 6x = 33 - 3 = 30. \]
  3. Divisez par 6 :
    \[ x = \frac{30}{6} = 5. \]
m) \(8(x + 5) = 88\)
  1. Développez le côté gauche :
    \[ 8x + 40 = 88. \]
  2. Soustrayez 40 de chaque côté :
    \[ 8x = 88 - 40 = 48. \]
  3. Divisez par 8 :
    \[ x = \frac{48}{8} = 6. \]
n) \(6(x + 2) = 8x + 5 - 3x\)
  1. Développez le côté gauche :
    \[ 6x + 12. \]
  2. Simplifiez le côté droit en combinant les termes en \(x\) :
    \[ 8x - 3x + 5 = 5x + 5. \] L’équation devient :
    \[ 6x + 12 = 5x + 5. \]
  3. Soustrayez \(5x\) de chaque côté :
    \[ 6x - 5x + 12 = 5 \quad \Rightarrow \quad x + 12 = 5. \]
  4. Soustrayez 12 de chaque côté :
    \[ x = 5 - 12 = -7. \]
o) \(x - 10 = 25\)
  1. Ajoutez 10 aux deux côtés pour isoler \(x\) :
    \[ x = 25 + 10 = 35. \]
p) \(7 - \frac{x}{4} = \frac{3}{2}\)
  1. Soustrayez 7 de chaque côté :
    \[ -\frac{x}{4} = \frac{3}{2} - 7. \]
  2. Pour calculer le côté droit, mettez 7 sous forme de fraction avec le dénominateur 2 :
    \[ 7 = \frac{14}{2}. \] Ainsi,
    \[ \frac{3}{2} - \frac{14}{2} = \frac{3-14}{2} = \frac{-11}{2}. \] L’équation devient :
    \[ -\frac{x}{4} = -\frac{11}{2}. \]
  3. Multipliez chaque côté par \(-1\) :
    \[ \frac{x}{4} = \frac{11}{2}. \]
  4. Multipliez par 4 pour isoler \(x\) :
    \[ x = \frac{11}{2} \times 4 = \frac{44}{2} = 22. \]

Partie 2 : Exemple de problème utilisant une équation

Exemple :

Énoncé du problème :
« Un nombre augmenté de 3, puis multiplié par 5, donne 40. Trouve ce nombre. »

Étapes de résolution :

  1. Soit \(x\) le nombre recherché.
  2. L’énoncé se traduit par l’équation suivante :
    \[ 5(x + 3) = 40. \]
  3. Développons le côté gauche :
    \[ 5x + 15 = 40. \]
  4. Soustrayons 15 des deux côtés pour isoler le terme en \(x\) :
    \[ 5x = 40 - 15 = 25. \]
  5. Divisons par 5 :
    \[ x = \frac{25}{5} = 5. \]

Conclusion : Le nombre recherché est \(x = 5\).

Récapitulatif des réponses

Cette correction détaillée permet de comprendre comment manipuler les équations étape par étape et comment modéliser un problème concret à l’aide d’une équation.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer