Exercice 6
Résous les équations suivantes :
\(\frac{x-3}{4} = 9\)
\(x + (x+2) + (x+3) =
x+6\)
\(3,7 - 1,8x = 0,6x +
1,5\)
\(3(x+4) = 4(x+2)\)
\(6x + 8 - 2x = 5 + 3x +
4\)
\(2,5(x+4) = 5,0 + 2x\)
\(\frac{x}{3} - \frac{2}{5} =
\frac{1}{3}\)
\(x^2 = x^2 + 8\)
\(8\left(x^2 + 2\right) = -3x^2 + 2x +
11x^2\)
\(\frac{4}{5}x - 60 =
30\)
Réponse
Réponses : a) x = 39
b) x = ½
c) x = 11/12
d) x = 4
e) x = 1
f) x = –10
g) x = 11/5
h) Aucune solution
i) x = 8
j) x = 112,5.
Corrigé détaillé
Voici une correction détaillée pour chacune des équations
proposées.
a) \(\frac{x-3}{4} =
9\)
- Multiplier par 4 pour se débarrasser du
dénominateur : \[
x-3 = 9 \times 4 = 36.
\]
- Ajouter 3 des deux côtés pour isoler \(x\) : \[
x = 36 + 3 = 39.
\]
Réponse : \(x =
39\).
b) \(x + (x+2) + (x+3) =
x+6\)
- Développer et regrouper les termes similaires dans
le membre de gauche : \[
x + x+2 + x+3 = 3x + 5.
\]
- L’équation devient : \[
3x + 5 = x + 6.
\]
- Soustraire \(x\)
des deux côtés : \[
2x + 5 = 6.
\]
- Soustraire 5 des deux côtés : \[
2x = 6 - 5 = 1.
\]
- Diviser par 2 pour isoler \(x\) : \[
x = \frac{1}{2}.
\]
Réponse : \(x =
\frac{1}{2}\).
c) \(3,7 - 1,8x =
0,6x + 1,5\)
- Rassembler les termes en \(x\) d’un côté de l’équation. Soustrayons
\(0,6x\) des deux côtés : \[
3,7 - 1,8x - 0,6x = 1,5.
\] \[
3,7 - 2,4x = 1,5.
\]
- Soustraire 3,7 des deux côtés pour isoler le terme
en \(x\) : \[
-2,4x = 1,5 - 3,7 = -2,2.
\]
- Diviser par \(-2,4\) : \[
x = \frac{-2,2}{-2,4} = \frac{2,2}{2,4}.
\]
- Simplification :
On peut multiplier numérateur et dénominateur par 10 pour enlever les
virgules : \[
x = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}.
\]
Réponse : \(x =
\frac{11}{12}\).
d) \(3(x+4) =
4(x+2)\)
- Développer les deux côtés : \[
3x + 12 = 4x + 8.
\]
- Soustraire \(3x\)
des deux côtés : \[
12 = x + 8.
\]
- Soustraire 8 pour isoler \(x\) : \[
x = 12 - 8 = 4.
\]
Réponse : \(x =
4\).
e) \(6x + 8 - 2x =
5 + 3x + 4\)
- Simplifier le membre de gauche : \[
6x - 2x + 8 = 4x + 8.
\]
- Simplifier le membre de droite : \[
5 + 4 + 3x = 3x + 9.
\]
- L’équation devient : \[
4x + 8 = 3x + 9.
\]
- Soustraire \(3x\)
des deux côtés : \[
x + 8 = 9.
\]
- Soustraire 8 : \[
x = 9 - 8 = 1.
\]
Réponse : \(x =
1\).
f) \(2,5(x+4) = 5,0 +
2x\)
- Distribuer \(2,5\)
dans le membre de gauche : \[
2,5x + 10 = 5 + 2x.
\]
- Soustraire \(2x\)
des deux côtés : \[
0,5x + 10 = 5.
\]
- Soustraire 10 des deux côtés : \[
0,5x = 5 - 10 = -5.
\]
- Diviser par \(0,5\) : \[
x = \frac{-5}{0,5} = -10.
\]
Réponse : \(x =
-10\).
g) \(\frac{x}{3} - \frac{2}{5} =
\frac{1}{3}\)
- Trouver un dénominateur commun pour éliminer les
fractions. Ici, le dénominateur commun est \(15\).
Multiplier chaque terme par \(15\) :
\[
15 \times \frac{x}{3} - 15 \times \frac{2}{5} = 15 \times \frac{1}{3}.
\]
- Simplifier chaque terme : \[
5x - 6 = 5.
\]
- Ajouter 6 des deux côtés : \[
5x = 11.
\]
- Diviser par \(5\)
: \[
x = \frac{11}{5}.
\]
Réponse : \(x =
\frac{11}{5}\) ou \(2,2\).
h) \(x^2 = x^2 +
8\)
- Soustraire \(x^2\)
des deux côtés : \[
x^2 - x^2 = (x^2 + 8) - x^2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 8.
\]
- L’égalité \(0 = 8\) est impossible.
Cela signifie qu’il n’existe aucune solution à cette
équation.
Réponse : Aucune solution.
i) \(8\left(x^2+2\right) = -3x^2 + 2x +
11x^2\)
- Développer le membre de gauche : \[
8x^2 + 16.
\]
- Simplifier le membre de droite en regroupant les
termes similaires : \[
-3x^2 + 11x^2 + 2x = 8x^2 + 2x.
\]
- L’équation devient : \[
8x^2 + 16 = 8x^2 + 2x.
\]
- Soustraire \(8x^2\) des deux côtés : \[
16 = 2x.
\]
- Diviser par 2 : \[
x = 8.
\]
Réponse : \(x =
8\).
j) \(\frac{4}{5}x -
60 = 30\)
- Ajouter 60 des deux côtés : \[
\frac{4}{5}x = 30 + 60 = 90.
\]
- Multiplier par 5 pour se débarrasser du
dénominateur : \[
4x = 90 \times 5 = 450.
\]
- Diviser par 4 : \[
x = \frac{450}{4} = 112,5.
\]
Réponse : \(x =
112,5\).
Chacune des étapes a été détaillée pour faciliter la compréhension.
N’hésitez pas à relire chaque manipulation pour bien saisir le
raisonnement utilisé dans chaque résolution.