Exercice 1

Question :

a) La somme de trois nombres entiers consécutifs est \(198\). Déterminez ces nombres.

b) Alice et Bernard affichent le même nombre sur leur calculatrice. Alice soustrait \(3\) au nombre affiché puis multiplie le résultat par \(4\). Bernard ajoute \(9\) au nombre initial. Ils obtiennent tous les deux le même résultat. Quel est ce nombre ?

c) Marie pense à un nombre. Elle le multiplie par \(3\) puis ajoute \(7\). Le résultat obtenu est égal à celui obtenu en multipliant le nombre initial par \(2\) puis en ajoutant \(12\). Quel est ce nombre ?

Réponse

1. 65, 66, 67
   
2. 7
   
3. 5

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.

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a) Somme de trois nombres entiers consécutifs égale à 198

1. Choix des nombres :
   Soit \(n\) le premier nombre. Les trois nombres consécutifs sont : \[ n,\quad n+1,\quad n+2 \]

2. Écriture de l’équation :
   La somme de ces trois nombres est : \[ n + (n+1) + (n+2) = 198 \]

3. Simplification de l’équation : \[ n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 \] On obtient donc : \[ 3n + 3 = 198 \]

4. Résolution de l’équation :
   Pour trouver \(n\), soustrayons 3 des deux côtés : \[ 3n = 198 - 3 = 195 \] Ensuite, divisons par 3 : \[ n = \frac{195}{3} = 65 \]

5. Les nombres recherchés :
   Le premier nombre est \(65\), le deuxième \(65+1 = 66\) et le troisième \(65+2 = 67\).

Réponse a) Les nombres sont \(\boxed{65,\,66,\,67}\).

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b) Le même nombre sur la calculatrice utilisé par Alice et Bernard

1. Choix du nombre :
   Soit \(x\) le nombre affiché sur leur calculatrice.

2. Opérations d’Alice :
   Alice effectue la soustraction puis la multiplication. Elle calcule : \[ 4(x-3) = 4x - 12 \]

3. Opérations de Bernard :
   Bernard ajoute \(9\) au nombre initial, ce qui donne : \[ x + 9 \]

4. Égalisation des résultats :
   Comme les deux résultats sont égaux, on a : \[ 4x - 12 = x + 9 \]

5. Résolution de l’équation :
   Pour trouver \(x\), procédons comme suit :

   • Soustrayons \(x\) des deux côtés : \[ 4x - x - 12 = 9 \quad \Rightarrow \quad 3x - 12 = 9 \]
   • Ajoutons \(12\) des deux côtés : \[ 3x = 9 + 12 = 21 \]
   • Divisons par 3 : \[ x = \frac{21}{3} = 7 \]

Réponse b) Le nombre affiché sur la calculatrice est \(\boxed{7}\).

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c) Marie pense à un nombre

1. Choix du nombre :
   Soit \(y\) le nombre auquel Marie pense.

2. Première opération (multiplication par 3 puis ajout de 7) :
   La première opération donne : \[ 3y + 7 \]

3. Deuxième opération (multiplication par 2 puis ajout de 12) :
   La deuxième opération donne : \[ 2y + 12 \]

4. Égalisation des résultats :
   Selon l’énoncé : \[ 3y + 7 = 2y + 12 \]

5. Résolution de l’équation :
   Pour trouver \(y\), suivons ces étapes :

   • Soustrayons \(2y\) des deux côtés : \[ 3y - 2y + 7 = 12 \quad \Rightarrow \quad y + 7 = 12 \]
   • Soustrayons \(7\) des deux côtés : \[ y = 12 - 7 = 5 \]

Réponse c) Le nombre auquel Marie pense est \(\boxed{5}\).

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Ces corrections détaillées montrent clairement la démarche pour résoudre chaque problème.