Exercice :
Soit le triangle \(PQR\), rectangle en \(R\), avec \(PR = 9\,\text{cm}\) et \(PQ = 15\,\text{cm}\). Déterminez la mesure de la hauteur issue du sommet \(R\).
Dans un rectangle de dimensions \(10\,\text{cm}\) et \(14\,\text{cm}\), calculez la distance entre un sommet et la diagonale qui ne passe pas par ce sommet.
La hauteur issue de R est de 36/5 cm (soit 7,2 cm).
La distance du sommet à la diagonale est de 70/√74 cm.
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties en détaillant chaque étape.
Énoncé :
Dans le triangle \(PQR\), rectangle en
\(R\), on connaît : - \(PR = 9\,\text{cm}\) - \(PQ = 15\,\text{cm}\)
On cherche la hauteur issue du sommet \(R\) (la perpendiculaire abaissée depuis \(R\) sur l’hypoténuse \(PQ\)).
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore nous donne : \[ PQ^2 = PR^2 + QR^2. \] On connaît \(PQ\) et \(PR\). Calculons \(QR\) : \[ QR^2 = PQ^2 - PR^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144. \] Ainsi : \[ QR = \sqrt{144} = 12\,\text{cm}. \]
La hauteur issue de l’angle droit (ici le point \(R\)) par rapport à l’hypoténuse est donnée par la formule : \[ h = \frac{PR \times QR}{PQ}. \] En remplaçant par les valeurs trouvées : \[ h = \frac{9 \times 12}{15} = \frac{108}{15} = \frac{36}{5}\,\text{cm}. \] On peut également écrire cela sous forme décimale : \[ h = 7,2\,\text{cm}. \]
Réponse de la partie a) : La hauteur issue du sommet \(R\) mesure \(\frac{36}{5}\,\text{cm}\) ou \(7,2\,\text{cm}\).
Énoncé :
Dans un rectangle de dimensions \(10\,\text{cm}\) et \(14\,\text{cm}\), nous devons calculer la
distance entre un sommet et la diagonale qui ne passe pas par ce
sommet.
On peut poser le rectangle de la manière suivante pour simplifier les calculs. Soit les sommets : - \(A(0,0)\) - \(B(14,0)\) (côté de \(14\,\text{cm}\)) - \(C(14,10)\) (côté de \(10\,\text{cm}\)) - \(D(0,10)\)
Choisissons le sommet \(A\). Les deux diagonales du rectangle sont \(AC\) et \(BD\). Comme \(AC\) passe par \(A\), la diagonale qui ne passe pas par \(A\) est \(BD\).
Les points \(B\) et \(D\) ont pour coordonnées : - \(B(14,0)\) - \(D(0,10)\)
Calculons la pente \(m\) de la droite passant par \(B\) et \(D\) : \[ m = \frac{10-0}{0-14} = \frac{10}{-14} = -\frac{5}{7}. \] L’équation de la droite passant par \(B(14,0)\) s’écrit sous la forme point-pente : \[ y - 0 = -\frac{5}{7}(x - 14), \] ce qui se simplifie en : \[ y = -\frac{5}{7}x + 10. \]
Pour l’utiliser dans la formule de la distance, on écrit cette équation sous forme générale : \[ \frac{5}{7}x + y - 10 = 0. \] Pour se débarrasser du dénominateur, multiplions par 7 : \[ 5x + 7y - 70 = 0. \]
La formule de la distance \(d\) d’un point \((x_0, y_0)\) à une droite d’équation \(ax + by + c = 0\) est : \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}. \] Ici, pour le point \(A(0,0)\) et la droite \(5x+7y-70=0\), on a : - \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = -70\) - \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\)
Calculons : \[ d = \frac{|5\cdot0 + 7\cdot0 - 70|}{\sqrt{5^2+7^2}} = \frac{70}{\sqrt{25+49}} = \frac{70}{\sqrt{74}}. \]
Réponse de la partie b) : La distance entre le sommet \(A\) et la diagonale \(BD\) est \(\displaystyle \frac{70}{\sqrt{74}}\,\text{cm}\).
Cette méthode permet de résoudre chaque partie en appliquant les notions de Pythagore, de calcul de hauteur dans un triangle rectangle ainsi que la formule de la distance entre un point et une droite dans le plan.