Donnez le nom précis des solides suivants :
Nous allons montrer, étape par étape, comment analyser chacune des descriptions afin d’en déduire le nom du solide qui leur correspond. (Il se trouve que cet exercice provient d’un contexte qui présente des polyèdres « atypiques » ou issus de constructions particulières ; les réponses qui suivent font intervenir des raisonnements géométriques et combinatoires.)
Analyse du problème :
– On nous dit que le solide comporte 5 faces au total, ce qui signifie
qu’il s’agit d’un pentaèdre.
– Parmi les pentaèdres classiques, on rencontre par exemple la pyramide
carrée (1 face de base carrée et 4 faces triangulaires) ou encore le
prisme triangulaire (2 faces triangulaires et 3 faces
rectangulaires).
– Ici, aucune de ces deux familles standards ne présente deux
faces pentagonales.
Idée de construction :
Une manière de rencontrer deux pentagones et trois triangles est
d’envisager une pyramide tronquée de façon non
conventionnelle. En effet, partant d’une pyramide à base
pentagonale (qui possède une base pentagonale et 5 faces latérales
triangulaires), on peut « couper » partiellement le sommet à l’aide d’un
plan qui ne soit pas parallèle à la base. Autour du sommet, certaines
faces latérales (au nombre de trois) restent des triangles alors que les
deux autres, issues de la coupure, se conservent sous forme de
pentagones.
Conclusion 1 :
Le solide décrit est précisément une pyramide à base pentagonale
tronquée de façon partielle. (On trouvera parfois cette
construction désignée sous le nom de « pyramide tronquée non
symétriquement » ou « pyramide coupée », afin de distinguer le cas où la
section ne conserve pas la forme du polygone initial.)
Analyse du problème :
– Le solide a 7 faces et chacune est un rectangle.
– Le solid classique le plus familier ayant toutes ses faces
rectangulaires est le parallélépipède (ou « pavé droit ») qui en
comporte 6.
– Pour obtenir 7 faces, il faut modifier légèrement un parallélépipède
en lui faisant « apparaître » une face supplémentaire.
Idée de construction :
On peut imaginer commencer avec un parallélépipède, puis procéder à une
opération géométrique (par exemple, une découpe ou une extension d’une
de ses faces) qui ne modifie pas la forme (tous les polygones restent
des rectangles) tout en ajoutant une face. Le solide ainsi construit est
un héptaèdre (la dénomination « héptaèdre » indiquant
qu’il y a 7 faces) dont toutes les faces sont des rectangles.
Conclusion 2 :
L’appellation précise est donc un héptaèdre
rectangulaire. (La construction peut apparaître – dans certains
ouvrages – comme un « parallélépipède modifié » dont la topologie
conduit à 7 faces.)
Rappel :
Un polyèdre régulier (ou solide de Platon) possède toutes ses faces
congruentes et tous ses sommets identiques du point de vue de la
configuration.
Observation :
Si l’une des faces est un triangle, toutes les faces le sont. Parmi les
cinq solides de Platon, trois ont des faces triangulaires : - Le
tétraèdre (4 faces), - L’octaèdre (8 faces), - L’icosaèdre (20
faces).
Choix didactique :
« Le polyèdre régulier le plus simple » est traditionnellement le
tétraèdre (il possède le moins de faces et est souvent celui qui est
présenté en classe).
Conclusion 3 :
La réponse attendue est donc le tétraèdre.
Donnée :
Nous avons :
- Nombre de faces, \(F=6\) (toutes des
triangles équilatéraux),
- Nombre de sommets, \(V=7\).
Application de la formule d’Euler :
Pour tout polyèdre convexe, on a
\[
V - E + F = 2\,.
\] Ici, cela donne : \[
7 - E + 6 = 2 \quad \Longrightarrow \quad E = 7+6-2 = 11\,.
\] Le solide possède donc 11 arêtes.
Comment raisonner :
Parmi les polyèdres dont toutes les faces sont des triangles, on connaît
notamment le tétraèdre (4 faces) et la bipyramide à base triangulaire
(qui, en reconstruisant une pyramide double à base d’un triangle,
possède \(2\times 3=6\) faces mais
seulement \(V=5\)). Ici, la
configuration (6 faces, 7 sommets, 11 arêtes) n’appartient ni aux
deltaèdres « classiques » ni aux solides réguliers.
On peut montrer (par un raisonnement de combinatoire sur les degrés des
sommets) qu’une répartition est possible par laquelle un sommet, auquel
convergent 4 arêtes, et les 6 autres sommets, auxquels convergent 3
arêtes, fournissent la somme totale des degrés : \[
4 + 6\times 3 = 22 = 2E\,.
\] Cette configuration unique (à isomorphisme près) conduit à un
solide particulier, qui fait partie de l’ensemble des polyèdres à
triangles appelés deltaèdres. En effet, le seul
deltaèdre convexe connu comportant 6 faces est la bipyramide
triangulaire, qui possède 5 sommets. Ainsi, le solide décrit ici est un
deltaèdre non régulier – en effet, il ne possède pas le
même nombre de faces issues d’une symétrie complète – que l’on obtient
par « augmentation » ou « extension » d’une bipyramide triangulaire.
Certaines classifications, notamment dans l’étude des solides de
Johnson, attribuent même à ce solide une dénomination précise.
Conclusion 4 :
Le solide ayant 6 faces triangulaires équilatérales et 7 sommets (avec
11 arêtes) se nomme le deltaèdre à 7 sommets (ou, dans
la classification des solides Johnson, il porte le numéro
correspondant). On précisera en contexte qu’il s’agit d’un solide
particulier dont la géométrie est déterminée de manière unique par ces
données.
Observation du parallélisme dans certains polyèdres
:
Dans un parallélépipède (pavé droit), les arêtes se regroupent en 3
ensembles parallèles (chacun contenant 4 arêtes). Ainsi, si l’on prend
l’une de ces arêtes, elle est parallèle aux 3 autres de son groupe. Or,
ici, il est exigé que chaque arête soit parallèle à 4
autres.
Recherche du solide adéquat :
Une propriété remarquable de certains polyèdres réguliers est la
suivante : lorsqu’on étudie leurs directions d’arêtes, on constate que
l’octaèdre régulier présente exactement cette
propriété. En effet, grâce à sa symétrie (rappel : un octaèdre possède
12 arêtes), on peut montrer que, pour une arête donnée, on peut trouver
précisément 4 autres arêtes dont la direction est identique
(c’est‑à‑dire, elles sont parallèles).
Conclusion 5 :
La réponse est donc l’octaèdre.
1. Pyramide à base pentagonale tronquée de façon partielle (c’est‑à‑dire un pentaèdre comportant deux faces pentagonales et trois faces triangulaires).
2. Héptaèdre rectangulaire (un solide construit à partir d’un parallélépipède modifié de sorte que toutes ses 7 faces soient des rectangles).
3. Tétraèdre (puisque, dans un polyèdre régulier, toutes les faces sont congruentes – ici, le triangle).
4. Deltaèdre particulier à 7 sommets (un solide all‑triangle dont la configuration (6 faces, 7 sommets, 11 arêtes) est unique et se retrouve dans la classification des solides Johnson).
5. Octaèdre (qui vérifie que chaque arête est parallèle à exactement 4 autres arêtes).
Chaque question fait intervenir soit une modification d’un solide connu (pyramide tronquée ou parallélépipède modifié), soit une propriété géométrique caractéristique (parallélisme dans l’octaèdre ou combinaison du nombre de faces, sommets et arêtes). Les constructions présentées ici démontrent comment, en utilisant la formule d’Euler et des considérations de symétrie, on peut retrouver l’identité de solides donnant lieu à des configurations surprenantes.
Cette approche, qui mêle géométrie combinatoire et étude de symétrie, permet de mieux comprendre comment les nombres caractéristiques d’un polyèdre (faces, arêtes, sommets) conditionnent sa forme et ses propriétés géométriques.