Exercice :
Soit un prisme droit à base triangulaire dont un sommet est coupé par
une coupe plane. Si l’on effectue une découpe identique sur chacun de
ses sommets, déterminer :
Le solide obtenu possède 11 faces, 18 sommets et 27 arêtes.
Nous allons étudier le problème d’un prisme droit à base triangulaire dont on « coupe » (tronque) chacun des sommets par un plan. Autrement dit, à chaque sommet, on enlève un petit coin du solide en le coupant de façon identique. Il s’agit ainsi d’obtenir un nouveau solide dont il faut déterminer le nombre de faces, de sommets et d’arêtes.
Pour mieux comprendre, rappelons d’abord les caractéristiques du prisme droit à base triangulaire initial.
Un prisme droit à base triangulaire possède : - Faces : 2 bases triangulaires et 3 faces latérales rectangulaires, soit en tout \[ F_0 = 2 + 3 = 5 \quad \text{faces.} \] - Sommets : Chaque triangle ayant 3 sommets et la base supérieure et inférieure étant décalées, on a \[ V_0 = 6 \quad \text{sommets.} \] - Arêtes : La face triangulaire possède 3 arêtes, et pour chaque sommet, on a une arête verticale reliant la base inférieure à la base supérieure. De plus, la face opposée est un triangle et les faces latérales relient les deux triangles. On trouve ainsi \[ E_0 = 9 \quad \text{arêtes.} \]
Chaque découpe par un plan intervient sur un sommet et découpe les
trois arêtes qui se rencontraient en ce sommet. Ainsi : - Les
sommets originaux disparaissent.
- Un nouveau polygone apparaît à l’endroit de la
découpe. Ce polygone est la face que l’on obtient en coupant le coin du
solide.
- Le nombre de côtés de ce nouveau polygone est égal au nombre d’arêtes
qui se rejoignaient en ce sommet.
- Dans un prisme triangulaire, chaque sommet est le point d’intersection
de 3 faces (une base et deux faces latérales). Ainsi chacun des 6
sommets du prisme est de degré 3 et la découpe donne lieu à une face
triangulaire (à trois côtés).
On obtient donc 6 nouvelles faces triangulaires.
Mais il faut aussi observer comment se transforment les faces originales.
Chaque face du solide de départ se voit « modifiée » parce que ses coins (aux sommets) ont été coupés.
Les bases triangulaires :
Une base triangle avait 3 sommets. Si l’on coupe chacun de ses sommets,
le contour du triangle est découpé. La coupure dans chaque sommet retire
une partie du coin et, à la place, le bord de la face se dédouble en
deux segments reliés par la nouvelle arête découpée (sur le bord de la
découpe). Autrement dit, chaque côté du triangle originel se « rallonge
» en deux segments.
Ainsi, chaque triangle se transforme en un polygone à \(2\times 3 = 6\) côtés, c’est-à-dire un
hexagone.
Les faces latérales (rectangles) :
Un rectangle possède 4 sommets. Après découpe de chacun de ces sommets,
il se transforme en un polygone dont le nombre de côtés est double, soit
\(2\times 4=8\), c’est-à-dire un
octogone.
Nous avons donc : - 2 bases qui deviennent 2 hexagones, - 3 faces latérales qui deviennent 3 octogones, - 6 nouvelles faces issues de la découpe (une pour chaque sommet initial), qui sont des triangles.
Le nombre total de faces est donc : \[ F = 2 + 3 + 6 = 11 \quad \text{faces.} \]
Voyons maintenant comment se répartissent les sommets du solide obtenu.
Lorsque l’on tronque le solide, chaque arête du prisme original est «
coupée » aux deux extrémités (près des sommets supprimés).
- Sur chaque arête initiale, la coupe crée 2 nouveaux
sommets.
- Le prisme initial possédait \(E_0 =
9\) arêtes.
Ainsi, le nombre total de nouveaux sommets est : \[ V = 9 \times 2 = 18 \quad \text{sommets.} \]
Une autre manière de voir le calcul est d’observer que les nouveaux sommets se trouvent aux intersections des plans de découpe avec les arêtes initiales. Chaque nouvelle intersection est unique et, compte tenu des 9 arêtes, on obtient 18 sommets.
Pour les arêtes, on distingue deux familles dans le nouveau solide :
1. Les segments issus des arêtes initiales.
Sur chaque arête d’origine, après avoir retiré les parties près des
sommets, il reste un segment reliant les deux nouveaux sommets. Cela
fournit \(9\) arêtes.
Le nombre total d’arêtes est donc la somme de ceux issus des arêtes initiales et de ceux issus des découpes : \[ E = 9 + 18 = 27 \quad \text{arêtes.} \]
Pour tout solide convexe, la formule d’Euler donne : \[ V - E + F = 2. \] En remplaçant par les valeurs trouvées : \[ 18 - 27 + 11 = 2. \] Le calcul donne bien : \[ 18 - 27 = -9, \quad -9 + 11 = 2, \] ce qui confirme la cohérence de notre compte.
Le solide obtenu en effectuant une découpe identique sur chacun des sommets d’un prisme droit à base triangulaire possède :