Soit un prisme à base rectangulaire dans lequel on retire un volume de forme rectangulaire identique à celle de la base. On obtient un nouveau solide.
Déterminez : a) le nombre de faces, b) le nombre de sommets, c) le nombre d’arêtes.
Le solide final a 11 faces, 16 sommets et 24 arêtes.
Nous allons étudier le solide obtenu à partir d’un prisme droit à base rectangulaire (qui possède initialement 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes) dans lequel on « découpe » un petit parallélépipède rectangulaire dont la base est de même forme que celle du prisme. Autrement dit, il s’agit d’un déplacement d’un « pavé » identique à la base qui est enlevé de la partie supérieure du prisme. Dans le résultat, plusieurs portions qui étaient à l’intérieur du solide deviennent des faces, ce qui augmente le nombre de faces, d’arêtes et de sommets. (Le schéma ci‑contre – que vous pouvez reproduire sur papier – aide à mieux visualiser la situation.)
Dans l’exemple considéré, la découpe est réalisée de telle façon que le petit volume retiré est placé de façon centrée sur la face supérieure du prisme sans toucher ses bords. Le nouveau solide possède alors une « cavité » ouverte par le haut. Cette opération modifie le comptage traditionnel. On montre (par un raisonnement élaboré ou par construction réfléchie) que le nombre de faces, sommets et arêtes devient :
Pour mieux comprendre ce résultat, détaillons les étapes de raisonnement.
On part d’un prisme droit à base rectangulaire. Ses caractéristiques sont bien connues :
On retire un parallélépipède dont la base est identique à celle du prisme. Par un choix usuel dans ces problèmes, le petit volume est « creusé » à partir de la face supérieure sans atteindre les bords du prisme. On obtient alors une cavité dont la « marche » correspond aux parois latérales du petit volume retiré et à sa face inférieure (celle qui devient alors partie du solide restant).
L’enlèvement du volume entraine :
On peut identifier les différentes portions :
La face inférieure du prisme
– Elle est conservée en entier.
\[
\text{Face 1 : la base inférieure.}
\]
Les faces latérales extérieures du prisme
– Elles étaient au nombre de 4 dans le prisme initial et, bien qu’en
partie divisées par la découpe, elles restent (on considère chacune
comme constituée de zones planes contiguës ou séparées par une
arête).
\[
\text{Faces 2 à 5 : les 4 faces latérales extérieures.}
\]
La face supérieure restante
– La face supérieure du prisme n’est plus une surface plane continue car
on a retiré au centre un parallélépipède. La partie restante se présente
sous la forme d’un cadre (ou « lunette ») qui, dans le décompte des
polyèdres, se décompose en une face plane continue (mais comportant un «
trou »). Pour le comptage habituel, il est préférable d’adopter la
décomposition standard en considérant le contour du trou comme
entraînant l’apparition d’une nouvelle face.
– On considère ainsi :
• Une face horizontale « nouvelle » correspondant au fond de la cavité
(la face qui est en contact avec le volume retiré).
\[
\text{Face 6.}
\]
• Quatre faces verticales issues des parois latérales du volume
retiré qui se retrouvent à l’intérieur de la cavité.
\[
\text{Faces 7 à 10.}
\]
• Enfin, le cadre extérieur formé par la partie de la face supérieure non découpée compose une onzième face.
Ainsi, le nouveau solide possède en tout : \[ 1 \, (\text{base}) + 4 \, (\text{latérales extérieures}) + 1 \, (\text{fond de cavité}) + 4 \, (\text{parois de la cavité}) + 1 \, (\text{cadre supérieur}) = 11 \text{ faces.} \]
Remarque : La décomposition en 11 faces est classique dans ce type d’exercice. La face supérieure du prisme, initialement plate, se retrouve scindée en deux parties (le cadre et le fond de la cavité) auxquelles s’ajoutent les 4 faces latérales de la cavité.
L’opération de découpe crée de nouveaux points d’intersection (sommets) et de nouvelles arêtes (les lignes de démarcation entre les nouvelles faces). On peut, en procédant de la même façon (soit par un schéma détaillé, soit par « transformation » du comptage initial en observant l’ajout de la découpe), établir que :
Le nombre total de sommets devient 16.
Par exemple, les sommets du cadre supérieur et ceux du contour du fond
de la cavité apportent chacun un ensemble de 4 nouveaux sommets qui,
combinés aux sommets initialement présents, donnent 16 sommets.
Le nombre total d’arêtes devient 24.
En effet, la découpe ajoute des arêtes le long du contour intérieur de
la face supérieure et dans la cavité elle-même. Ainsi, en repartant des
12 arêtes initiales et en y ajoutant celles créées par la discontinuité
de la face supérieure, on trouve 24 arêtes.
Après avoir réalisé toutes les conséquences géométriques de la découpe d’un parallélépipède (dont la base est identique à celle du prisme) à partir du prisme initial, on obtient le solide suivant :
Ces résultats sont ceux que l’on retrouve classiquement dans les exercices portant sur la modification d’un solide par retrait d’un volume.
En résumé, en partant du prisme initial et en retirant un parallélépipède centré sur la face supérieure dont la base est identique à celle du prisme, le nouveau solide admet :
\[ \boxed{F = 11,\quad S = 16,\quad A = 24.} \]
Ce raisonnement s’appuie sur une analyse attentive de comment la découpe affecte chacune des surfaces et la création de nouvelles lignes de bord. Cette démarche, qui consiste à comparer le solide de départ et le résultat de la découpe, est très utile pour établir le décompte dans ce type d’exercice.