Exercice 1

Question :

a) Soit un quadrilatère dont les diagonales, notées \(d_1\) et \(d_2\), se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Quel est ce quadrilatère ?

b) Considérez un triangle dont deux angles sont égaux tandis que le troisième diffère des deux autres. De quel type de triangle s’agit-il ?

c) Soit un parallélogramme possédant un angle droit, par exemple \(\angle A = 90^\circ\). Quel est ce quadrilatère ?

d) Considérez un quadrilatère doté exactement d’une paire de côtés parallèles et comportant au moins un angle droit. De quel quadrilatère s’agit-il ?

e) Soit un quadrilatère qui admet un axe de symétrie unique. Quel est ce quadrilatère ?

Réponse

  1. rectangle
  2. triangle isocèle
  3. rectangle
  4. trapéze rectangle
  5. cerf-volant

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque question :


a) Quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur

Énoncé :
On connaît que dans tout parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu (c’est-à-dire que le point d’intersection est le milieu de chacune des diagonales). Ici, il est en plus précisé que les deux diagonales ont la même longueur.

Explication :
1. La propriété « les diagonales se coupent en leur milieu » caractérise un parallélogramme.
2. Dans un parallélogramme, si l’on ajoute la condition que les deux diagonales sont de même longueur, on obtient la caractérisation d’un rectangle. En effet, un rectangle est défini comme un parallélogramme dont les diagonales sont congruentes.

Conclusion :
Le quadrilatère décrit est un \(\boxed{\text{rectangle}}\).


b) Triangle dont deux angles sont égaux tandis que le troisième diffère

Énoncé :
Nous avons un triangle dans lequel deux angles sont égaux. Le troisième angle, lui, est différent des deux autres.

Explication :
1. Dans un triangle, le fait que deux angles soient égaux implique que les côtés opposés à ces angles sont également égaux.
2. Un triangle qui possède exactement deux angles égaux (et donc deux côtés égaux) est appelé un triangle isocèle.
3. On exclut alors le cas d’un triangle équilatéral (où tous les angles sont égaux) puisque le troisième angle est différent.

Conclusion :
Le triangle est un \(\boxed{\text{triangle isocèle}}\).


c) Parallélogramme possédant un angle droit (par exemple \(\angle A = 90^\circ\))

Énoncé :
On dispose d’un parallélogramme possédant un angle droit.

Explication :
1. Par définition, un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.
2. Si un parallélogramme possède un angle droit, alors les côtés adjacents à cet angle sont perpendiculaires.
3. Un parallélogramme avec un angle droit est précisément un rectangle.
4. (Notez qu’un carré est un cas particulier de rectangle, mais la donnée ne précise pas l’égalité de tous les côtés.)

Conclusion :
Le quadrilatère est un \(\boxed{\text{rectangle}}\).


d) Quadrilatère doté exactement d’une paire de côtés parallèles et comportant au moins un angle droit

Énoncé :
Le quadrilatère possède exactement une paire de côtés parallèles et possède au moins un angle droit.

Explication :
1. Un quadrilatère qui a exactement une paire de côtés parallèles est appelé un trapéze (dans certaines classifications, il est distingué du parallélogramme qui a deux paires de côtés parallèles).
2. La présence d’au moins un angle droit précise qu’il s’agit d’un trapéze rectangle.
- Le terme rectangle ici fait référence au fait qu’un de ses angles est droit.
3. La condition « exactement une paire de côtés parallèles » permet de distinguer ce quadrilatère des parallélogrammes et des rectangles “classiques” (qui ont deux paires de côtés parallèles).

Conclusion :
Le quadrilatère est un \(\boxed{\text{trapéze rectangle}}\).


e) Quadrilatère qui admet un axe de symétrie unique

Énoncé :
On cherche un quadrilatère qui possède exactement un axe de symétrie.

Explication :
1. Différents types de quadrilatères peuvent posséder plusieurs axes de symétrie (comme le carré qui en a plusieurs) ou aucun.
2. Un quadrilatère possédant un seul axe de symétrie est typiquement le cerf-volant.
- Le cerf-volant a une symétrie axiale qui passe par un de ses sommets et coupe l’ensemble en deux parties miroirs.
3. Les autres quadrilatères, tels que le rectangle (qui possède souvent deux axes si ce n’est un carré) ou le trapéze isocèle (qui peut posséder un axe de symétrie vertical), diffèrent ici par leurs définitions.
4. La description « un axe de symétrie unique » correspond exactement à celle du cerf-volant.

Conclusion :
Le quadrilatère est un \(\boxed{\text{cerf-volant}}\).


Récapitulatif des réponses :
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