Question :
a) Soit un quadrilatère dont les diagonales, notées \(d_1\) et \(d_2\), se coupent en leur milieu et ont la même longueur. Quel est ce quadrilatère ?
b) Considérez un triangle dont deux angles sont égaux tandis que le troisième diffère des deux autres. De quel type de triangle s’agit-il ?
c) Soit un parallélogramme possédant un angle droit, par exemple \(\angle A = 90^\circ\). Quel est ce quadrilatère ?
d) Considérez un quadrilatère doté exactement d’une paire de côtés parallèles et comportant au moins un angle droit. De quel quadrilatère s’agit-il ?
e) Soit un quadrilatère qui admet un axe de symétrie unique. Quel est ce quadrilatère ?
Voici la correction détaillée de chaque question :
Énoncé :
On connaît que dans tout parallélogramme, les diagonales se coupent en
leur milieu (c’est-à-dire que le point d’intersection est le milieu de
chacune des diagonales). Ici, il est en plus précisé que les deux
diagonales ont la même longueur.
Explication :
1. La propriété « les diagonales se coupent en leur milieu » caractérise
un parallélogramme.
2. Dans un parallélogramme, si l’on ajoute la condition que les deux
diagonales sont de même longueur, on obtient la caractérisation d’un
rectangle. En effet, un rectangle est défini comme un
parallélogramme dont les diagonales sont congruentes.
Conclusion :
Le quadrilatère décrit est un \(\boxed{\text{rectangle}}\).
Énoncé :
Nous avons un triangle dans lequel deux angles sont égaux. Le troisième
angle, lui, est différent des deux autres.
Explication :
1. Dans un triangle, le fait que deux angles soient égaux implique que
les côtés opposés à ces angles sont également égaux.
2. Un triangle qui possède exactement deux angles égaux (et donc deux
côtés égaux) est appelé un triangle isocèle.
3. On exclut alors le cas d’un triangle équilatéral (où tous les angles
sont égaux) puisque le troisième angle est différent.
Conclusion :
Le triangle est un \(\boxed{\text{triangle
isocèle}}\).
Énoncé :
On dispose d’un parallélogramme possédant un angle droit.
Explication :
1. Par définition, un parallélogramme a ses côtés opposés
parallèles.
2. Si un parallélogramme possède un angle droit, alors les côtés
adjacents à cet angle sont perpendiculaires.
3. Un parallélogramme avec un angle droit est précisément un
rectangle.
4. (Notez qu’un carré est un cas particulier de rectangle, mais la
donnée ne précise pas l’égalité de tous les côtés.)
Conclusion :
Le quadrilatère est un \(\boxed{\text{rectangle}}\).
Énoncé :
Le quadrilatère possède exactement une paire de côtés parallèles et
possède au moins un angle droit.
Explication :
1. Un quadrilatère qui a exactement une paire de côtés parallèles est
appelé un trapéze (dans certaines classifications, il
est distingué du parallélogramme qui a deux paires de côtés
parallèles).
2. La présence d’au moins un angle droit précise qu’il s’agit d’un
trapéze rectangle.
- Le terme rectangle ici fait référence au fait qu’un de ses
angles est droit.
3. La condition « exactement une paire de côtés parallèles » permet de
distinguer ce quadrilatère des parallélogrammes et des rectangles
“classiques” (qui ont deux paires de côtés parallèles).
Conclusion :
Le quadrilatère est un \(\boxed{\text{trapéze
rectangle}}\).
Énoncé :
On cherche un quadrilatère qui possède exactement un axe de
symétrie.
Explication :
1. Différents types de quadrilatères peuvent posséder plusieurs axes de
symétrie (comme le carré qui en a plusieurs) ou aucun.
2. Un quadrilatère possédant un seul axe de symétrie
est typiquement le cerf-volant.
- Le cerf-volant a une symétrie axiale qui passe par un de ses sommets
et coupe l’ensemble en deux parties miroirs.
3. Les autres quadrilatères, tels que le rectangle (qui possède souvent
deux axes si ce n’est un carré) ou le trapéze isocèle (qui peut posséder
un axe de symétrie vertical), diffèrent ici par leurs définitions.
4. La description « un axe de symétrie unique » correspond exactement à
celle du cerf-volant.
Conclusion :
Le quadrilatère est un \(\boxed{\text{cerf-volant}}\).