Exercice 12

Exercice

Trouver un nombre à neuf chiffres composé des chiffres de 1 à 9 (chacun utilisé une seule fois) tel que :

• Le nombre formé par le premier chiffre (de gauche) est divisible par 1,
• Le nombre formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2,
• Le nombre formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3,
• Le nombre formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4,
• Et ainsi de suite jusqu’au nombre complet qui doit être divisible par 9.

Formulez une démarche permettant de trouver ce nombre.

Réponse

Le nombre recherché est 381654729.

Corrigé détaillé

Nous allons détailler une démarche permettant de trouver un nombre pandigital (contenant les chiffres de 1 à 9, chacun une seule fois) ayant la propriété suivante :
pour tout \(k\) de 1 à 9, le nombre constitué des \(k\) premiers chiffres est divisible par \(k\).

Nous cherchons un nombre de la forme
\[ N = d_1 d_2 d_3 d_4 d_5 d_6 d_7 d_8 d_9, \]
où chaque \(d_i\) est un chiffre différent dans \(\{1,2,\ldots,9\}\) et les conditions suivantes sont satisfaites :

1. Le premier chiffre \(d_1\) est divisible par 1.
   
2. Le nombre \(\overline{d_1d_2}\) est divisible par 2.
   
3. Le nombre \(\overline{d_1d_2d_3}\) est divisible par 3.
   
4. Le nombre \(\overline{d_1d_2d_3d_4}\) est divisible par 4.
   
5. Le nombre \(\overline{d_1d_2d_3d_4d_5}\) est divisible par 5.
   
6. Le nombre \(\overline{d_1d_2d_3d_4d_5d_6}\) est divisible par 6.
   
7. Le nombre \(\overline{d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7}\) est divisible par 7.
   
8. Le nombre \(\overline{d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7d_8}\) est divisible par 8.
   
9. Le nombre complet \(\overline{d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7d_8d_9}\) est divisible par 9.

Nous allons rappeler quelques unes des règles de divisibilité importantes pour construire la solution :

• Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair. Ainsi, la figure \(\overline{d_1d_2}\) doit se terminer par un chiffre pair, ce qui impose que \(d_2 \in \{2,4,6,8\}\).

• Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Ainsi, pour \(\overline{d_1d_2d_3}\), on demande \(d_1+d_2+d_3\) divisible par 3.

• Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Pour \(\overline{d_1d_2d_3d_4}\), cela signifie que \(\overline{d_3d_4}\) doit être divisible par 4.

• Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. Or, comme nous utilisons les chiffres de 1 à 9, le chiffre 0 n’est pas disponible. La seule possibilité est donc que \(d_5 = 5\).

• Divisibilité par 6 : Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 et par 3.

• Divisibilité par 8 : Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.

• Divisibilité par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Ici, la somme de 1 à 9 est \(1+2+3+\dots+9 = 45\) qui est divisible par 9. Cette condition est donc automatiquement respectée pour tout arrangement des chiffres.

Démarche constructive

1. Fixer certaines positions dès le départ :

   • On sait que \(d_5 = 5\) pour satisfaire la divisibilité par 5.
   • Pour que \(\overline{d_1d_2}\) soit divisible par 2, on impose \(d_2\) pair.

2. Utiliser la récursivité des conditions :
   Commencer par choisir \(d_1\) puis \(d_2\) parmi les possibilités, vérifier que \(\overline{d_1d_2}\) est divisible par 2, puis compléter avec \(d_3\) de manière à ce que \(d_1+d_2+d_3\) soit un multiple de 3.

3. Prolonger le processus en vérifiant, à chaque ajout d’un chiffre, la condition de divisibilité correspondante :

   • Pour \(d_4\), s’assurer que le nombre formé par \(d_3\) et \(d_4\) est divisible par 4.
   • Continuer ainsi pour \(d_6, d_7\) et \(d_8\) en utilisant les critères de divisibilité appropriés (notamment, pour 6, vérifier les critères de 2 et 3, pour 8, regarder les trois derniers chiffres).

4. Vérifier la condition sur les 7 premiers chiffres :
   La divisibilité par 7 demande souvent un calcul manuel ou une astuce. À chaque fois qu’un candidat est construit, il faut vérifier si le nombre obtenu est divisible par 7.

5. Rechercher par tâtonnement raisonné :
   Ces conditions très contraignantes réduisent fortement le nombre de possibilités. Une fois que certaines positions sont fixées, les autres doivent répondre simultanément aux critères de divisibilité pour le préfixe correspondant. L’approche consiste alors à essayer différentes combinaisons en respectant les contraintes déjà imposées.

Résultat connu

Grâce à ce procédé, on trouve que le nombre qui satisfait toutes ces conditions est : \[ \boxed{381654729}. \]

Vérification des conditions

Pour s’assurer de la validité du résultat, vérifions chacune des conditions :

1. \(\mathbf{3}\) est divisible par 1.
   
2. \(\mathbf{38}\) est divisible par 2 puisque 8 est pair.
   
3. \(\mathbf{381}\) est divisible par 3 car \(3+8+1=12\) et \(12\) est divisible par 3.
   
4. \(\mathbf{3816}\) est divisible par 4 car le nombre formé par les deux derniers chiffres, \(16\), est divisible par 4 (\(16 \div 4=4\)).
   
5. \(\mathbf{38165}\) se termine par 5, donc divisible par 5.
   
6. \(\mathbf{381654}\) est divisible par 6 car il est divisible par 2 (se termine par 4, chiffre pair) et la somme \(3+8+1+6+5+4 = 27\) est divisible par 3.
   
7. \(\mathbf{3816547}\) doit être divisible par 7. Une vérification de la division montre que le résultat est bien un entier.
   
8. \(\mathbf{38165472}\) doit être divisible par 8 : les trois derniers chiffres sont 472 et \(472 \div 8 = 59\) (le résultat est entier).
   
9. Finalement, \(\mathbf{381654729}\) est divisible par 9 car la somme de ses chiffres est \(3+8+1+6+5+4+7+2+9=45\), et \(45\) est divisible par 9.

Conclusion

La démarche consiste donc à utiliser progressivement les règles de divisibilité pour restreindre les possibilités lors du choix des chiffres, tout en assurant que chaque condition (de 1 à 9) est respectée pour les préfixes correspondants. En appliquant cette méthode, on obtient le nombre : \[ \boxed{381654729}. \]

Ce nombre remplit toutes les conditions demandées dans l’exercice.