Exercice
Un entier positif est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c’est-à-dire de ses diviseurs autres que lui-même). Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs propres sont \(\{1, 2, 3\}\) et \(1 + 2 + 3 = 6\).
28 et 496 sont des nombres parfaits car la somme de leurs diviseurs propres est égale à eux-mêmes. De plus, pour les paires 220/284 et 1184/1210, la somme des diviseurs propres de chaque nombre est égale à l’autre, ce qui en fait des nombres amiables.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Un entier positif \(n\) est dit parfait si la somme de ses diviseurs propres (c’est-à-dire tous les diviseurs de \(n\) autres que \(n\) lui-même) est égale à \(n\).
Liste des diviseurs propres de \(28\)
Les diviseurs de \(28\) sont :
\[
1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 14,\, 28.
\]
En retirant \(28\) lui-même, on obtient les diviseurs propres :
\[
\{1,\, 2,\, 4,\, 7,\, 14\}.
\]
Somme des diviseurs propres
Calculons la somme :
\[
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
\]
Comme la somme est égale à \(28\), on conclut que \(28\) est un nombre parfait.
Liste des diviseurs propres de \(496\)
Nous recherchons tous les diviseurs de \(496\) autres que \(496\).
On peut vérifier que les diviseurs de \(496\) sont :
\[
1,\, 2,\, 4,\, 8,\, 16,\, 31,\, 62,\, 124,\, 248,\, 496.
\]
En retirant \(496\), on obtient :
\[
\{1,\, 2,\, 4,\, 8,\, 16,\, 31,\, 62,\, 124,\, 248\}.
\]
Somme des diviseurs propres
Calculons la somme :
\[
\begin{array}{rcl}
1 + 2 &=& 3,\\[1mm]
3 + 4 &=& 7,\\[1mm]
7 + 8 &=& 15,\\[1mm]
15 + 16 &=& 31,\\[1mm]
31 + 31 &=& 62,\\[1mm]
62 + 62 &=& 124,\\[1mm]
124 + 124 &=& 248,\\[1mm]
248 + 248 &=& 496.
\end{array}
\]
Notons que l’addition se fait simplement en additionnant l’ensemble de ces diviseurs : \[ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496. \]
Comme la somme est égale à \(496\), \(496\) est bien un nombre parfait.
Deux entiers \(a\) et \(b\) sont dits amiables si :
- La somme des diviseurs propres de \(a\) est égale à \(b\). - La somme des diviseurs propres de \(b\) est égale à \(a\).
Nous allons vérifier ces propriétés pour les deux paires données.
Diviseurs propres de \(220\) :
Les diviseurs de \(220\) sont :
\[
1,\, 2,\, 4,\, 5,\, 10,\, 11,\, 20,\, 22,\, 44,\, 55,\, 110,\, 220.
\]
En retirant \(220\), les diviseurs propres sont :
\[
\{1,\, 2,\, 4,\, 5,\, 10,\, 11,\, 20,\, 22,\, 44,\, 55,\, 110\}.
\]
Calculez leur somme :
\[
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110.
\]
Effectuons l’addition étape par étape :
\[
\begin{aligned}
1 + 2 &= 3, \\
3 + 4 &= 7, \\
7 + 5 &= 12, \\
12 + 10 &= 22, \\
22 + 11 &= 33, \\
33 + 20 &= 53, \\
53 + 22 &= 75, \\
75 + 44 &= 119, \\
119 + 55 &= 174, \\
174 + 110 &= 284.
\end{aligned}
\]
Ainsi, la somme des diviseurs propres de \(220\) est \(284\).
Diviseurs propres de \(284\) :
Les diviseurs de \(284\) sont :
\[
1,\, 2,\, 4,\, 71,\, 142,\, 284.
\]
En retirant \(284\), on a :
\[
\{1,\, 2,\, 4,\, 71,\, 142\}.
\]
Sommons-les :
\[
1 + 2 + 4 + 71 + 142.
\]
Additionnons :
\[
\begin{aligned}
1 + 2 &= 3, \\
3 + 4 &= 7, \\
7 + 71 &= 78, \\
78 + 142 &= 220.
\end{aligned}
\]
La somme est égale à \(220\).
La condition est donc remplie pour la paire \(220\) et \(284\) : - Somme des diviseurs propres de \(220\) = \(284\). - Somme des diviseurs propres de \(284\) = \(220\).
Déterminer les diviseurs propres de \(1184\)
On commence par trouver la décomposition en facteurs premiers de \(1184\).
On peut diviser successivement par \(2\) :
\[
1184 \div 2 = 592,\quad 592 \div 2 = 296,\quad 296 \div 2 = 148,\quad 148 \div 2 = 74,\quad 74 \div 2 = 37.
\]
Ainsi, \(1184 = 2^5 \times 37\).
Liste des diviseurs propres de \(1184\)
Les diviseurs se forment à partir des puissances de \(2\) (de \(2^0\) à \(2^5\)) et de \(37\) (présent ou non).
On obtient donc les diviseurs :
On retire \(1184\) car il s’agit d’un diviseur propre. Ainsi, les diviseurs propres sont :
\[
\{1,\, 2,\, 4,\, 8,\, 16,\, 32,\, 37,\, 74,\, 148,\, 296,\, 592\}.
\]
Somme des diviseurs propres de \(1184\)
Calculons la somme :
\[
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 37 + 74 + 148 + 296 + 592.
\]
Additionnons par étapes :
\[
\begin{aligned}
1 + 2 &= 3,\\[1mm]
3 + 4 &= 7,\\[1mm]
7 + 8 &= 15,\\[1mm]
15 + 16 &= 31,\\[1mm]
31 + 32 &= 63,\\[1mm]
63 + 37 &= 100,\\[1mm]
100 + 74 &= 174,\\[1mm]
174 + 148 &= 322,\\[1mm]
322 + 296 &= 618,\\[1mm]
618 + 592 &= 1210.
\end{aligned}
\]
La somme est \(1210\).
Déterminer les diviseurs propres de \(1210\)
Décomposons \(1210\) en facteurs premiers.
On constate que :
\[
1210 = 2 \times 605.
\] Ensuite, \(605 = 5 \times 121\) et \(121 = 11^2\).
Ainsi,
\[
1210 = 2 \times 5 \times 11^2.
\]
Liste des diviseurs propres de \(1210\)
Pour former les diviseurs, on utilise les facteurs \(2\), \(5\) et \(11^2\).
Les diviseurs de \(1210\) sont :
\[
1,\, 2,\, 5,\, 10,\, 11,\, 22,\, 55,\, 110,\, 121,\, 242,\, 605,\, 1210.
\]
En retirant \(1210\), on a les diviseurs propres :
\[
\{1,\, 2,\, 5,\, 10,\, 11,\, 22,\, 55,\, 110,\, 121,\, 242,\, 605\}.
\]
Somme des diviseurs propres de \(1210\)
Calculons la somme :
\[
1 + 2 + 5 + 10 + 11 + 22 + 55 + 110 + 121 + 242 + 605.
\]
Additionnons étape par étape :
\[
\begin{aligned}
1 + 2 &= 3,\\[1mm]
3 + 5 &= 8,\\[1mm]
8 + 10 &= 18,\\[1mm]
18 + 11 &= 29,\\[1mm]
29 + 22 &= 51,\\[1mm]
51 + 55 &= 106,\\[1mm]
106 + 110 &= 216,\\[1mm]
216 + 121 &= 337,\\[1mm]
337 + 242 &= 579,\\[1mm]
579 + 605 &= 1184.
\end{aligned}
\]
La somme est \(1184\).
Ainsi, pour la paire \(1184\) et \(1210\) :
- La somme des diviseurs propres de \(1184\) est \(1210\).
- La somme des diviseurs propres de \(1210\) est \(1184\).
Les deux conditions d’« amicabilité » sont vérifiées.
Cette correction détaillée permet de voir étape par étape comment vérifier ces propriétés pour chaque nombre donné.