Exercice
Énumérez les dix plus petits éléments des ensembles suivants :
Les dix premiers éléments des ensembles sont :
• M₁₅ : 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150
• M₆ : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
• M₁₂ : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
• M₁₁ : 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
• M₄ : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
• M₃ : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Nous allons supposer que, pour chaque entier naturel \(k\), l’ensemble \(M_k\) représente l’ensemble des multiples de \(k\), c’est-à-dire :
\[ M_k = \{ k, 2k, 3k, 4k, \ldots \} \]
L’exercice demande d’énumérer les dix plus petits éléments de chaque ensemble. Cela revient à calculer \(k \times 1\), \(k \times 2\), \(k \times 3\), …, jusqu’à \(k \times 10\).
Les dix premiers multiples de \(15\) sont obtenus ainsi :
\[ \begin{array}{rcl} 15 \times 1 &=& 15, \\ 15 \times 2 &=& 30, \\ 15 \times 3 &=& 45, \\ 15 \times 4 &=& 60, \\ 15 \times 5 &=& 75, \\ 15 \times 6 &=& 90, \\ 15 \times 7 &=& 105, \\ 15 \times 8 &=& 120, \\ 15 \times 9 &=& 135, \\ 15 \times 10 &=& 150. \end{array} \]
Les dix plus petits éléments de \(M_{15}\) sont :
\(15,\; 30,\; 45,\; 60,\; 75,\; 90,\; 105,\;
120,\; 135,\; 150.\)
Ici, on calcule les multiples de \(6\) :
\[ \begin{array}{rcl} 6 \times 1 &=& 6, \\ 6 \times 2 &=& 12, \\ 6 \times 3 &=& 18, \\ 6 \times 4 &=& 24, \\ 6 \times 5 &=& 30, \\ 6 \times 6 &=& 36, \\ 6 \times 7 &=& 42, \\ 6 \times 8 &=& 48, \\ 6 \times 9 &=& 54, \\ 6 \times 10 &=& 60. \end{array} \]
Les dix plus petits éléments de \(M_{6}\) sont :
\(6,\; 12,\; 18,\; 24,\; 30,\; 36,\; 42,\;
48,\; 54,\; 60.\)
Pour \(M_{12}\), on a :
\[ \begin{array}{rcl} 12 \times 1 &=& 12, \\ 12 \times 2 &=& 24, \\ 12 \times 3 &=& 36, \\ 12 \times 4 &=& 48, \\ 12 \times 5 &=& 60, \\ 12 \times 6 &=& 72, \\ 12 \times 7 &=& 84, \\ 12 \times 8 &=& 96, \\ 12 \times 9 &=& 108, \\ 12 \times 10 &=& 120. \end{array} \]
Les dix plus petits éléments de \(M_{12}\) sont :
\(12,\; 24,\; 36,\; 48,\; 60,\; 72,\; 84,\;
96,\; 108,\; 120.\)
Les multiples de \(11\) se calculent comme suit :
\[ \begin{array}{rcl} 11 \times 1 &=& 11, \\ 11 \times 2 &=& 22, \\ 11 \times 3 &=& 33, \\ 11 \times 4 &=& 44, \\ 11 \times 5 &=& 55, \\ 11 \times 6 &=& 66, \\ 11 \times 7 &=& 77, \\ 11 \times 8 &=& 88, \\ 11 \times 9 &=& 99, \\ 11 \times 10 &=& 110. \end{array} \]
Les dix plus petits éléments de \(M_{11}\) sont :
\(11,\; 22,\; 33,\; 44,\; 55,\; 66,\; 77,\;
88,\; 99,\; 110.\)
On calcule les multiples de \(4\) :
\[ \begin{array}{rcl} 4 \times 1 &=& 4, \\ 4 \times 2 &=& 8, \\ 4 \times 3 &=& 12, \\ 4 \times 4 &=& 16, \\ 4 \times 5 &=& 20, \\ 4 \times 6 &=& 24, \\ 4 \times 7 &=& 28, \\ 4 \times 8 &=& 32, \\ 4 \times 9 &=& 36, \\ 4 \times 10 &=& 40. \end{array} \]
Les dix plus petits éléments de \(M_{4}\) sont :
\(4,\; 8,\; 12,\; 16,\; 20,\; 24,\; 28,\;
32,\; 36,\; 40.\)
Enfin, pour \(M_{3}\) :
\[ \begin{array}{rcl} 3 \times 1 &=& 3, \\ 3 \times 2 &=& 6, \\ 3 \times 3 &=& 9, \\ 3 \times 4 &=& 12, \\ 3 \times 5 &=& 15, \\ 3 \times 6 &=& 18, \\ 3 \times 7 &=& 21, \\ 3 \times 8 &=& 24, \\ 3 \times 9 &=& 27, \\ 3 \times 10 &=& 30. \end{array} \]
Les dix plus petits éléments de \(M_{3}\) sont :
\(3,\; 6,\; 9,\; 12,\; 15,\; 18,\; 21,\; 24,\;
27,\; 30.\)
Cette méthode repose sur la multiplication répétée par le nombre correspondant pour obtenir les multiples consécutifs. Chacun de ces ensembles suit la même logique afin de trouver leurs dix plus petits éléments.