Énumérez les dix plus petits éléments des ensembles suivants : 1. \(M_{5}\) 2. \(M_{9}\) 3. \(M_{2}\) 4. \(M_{10}\) 5. \(M_{8}\) 6. \(M_{30}\)
Voici le résumé très court des réponses obtenues :
• M₅, M₂ et M₁₀ : 10, 100, 110, 1000, 1010, 1100, 1110, 10000, 10010, 10100
• M₉ : 111111111, 1011111111, 1101111111, 1110111111, 1111011111,
1111101111, 1111110111, 1111111011, 1111111101, 1111111110
• M₈ : 1000, 10000, 11000, 100000, 101000, 110000, 111000, 1000000, 1001000, 1010000
• M₃₀ : 1110, 10110, 11010, 11100, 100110, 101010, 101100, 110010, 110100, 111000.
On suppose ici que, pour un entier naturel positif \(p\), l’ensemble \[ M_{p}=\{\, n\in\mathbb{N}^* : \text{la représentation décimale de } n \text{ ne comporte que les chiffres } 0 \text{ et } 1 \text{ et } p \mid n\} \] est formé des nombres (écrits en base 10) qui utilisent uniquement les chiffres 0 et 1 et qui sont divisibles par \(p\). Pour chacun des \(p\) donnés, nous allons « énumérer les dix plus petits éléments » de \(M_{p}\).
Remarque importante :
Dans tous les cas, comme les nombres ne peuvent comporter que les chiffres 0 et 1, et comme la divisibilité par certains nombres (voir ci‑dessous) oblige à avoir un chiffre particulier en fin, on va utiliser les critères de divisibilité suivants :
Nous allons détailler ci‑après chaque cas.
Condition :
- Le nombre ne contient que les chiffres 0 et 1.
- Divisible par 5. Or, un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0.
Donc, tous les éléments de \(M_5\) se terminent par 0.
Pour obtenir les plus petits éléments, on commence par des nombres à 2 chiffres puis 3, 4, … en les écrivant en ordre croissant.
Liste par nombre de chiffres :
Nombres à 2 chiffres :
Le seul candidat est :
\[
10.
\]
Nombres à 3 chiffres (formés de 1 et 0 et se terminant par 0) :
Possibilités :
\[
100 \quad \text{et} \quad 110.
\] (On trie par ordre croissant : \(100 < 110\).)
Nombres à 4 chiffres :
On a la forme \(\_ \_ \_0\) avec le premier chiffre égal à 1.
Les candidats sont :
\[
1000,\; 1010,\; 1100,\; 1110.
\]
Nombres à 5 chiffres :
On ne prendra que les trois plus petits pour compléter une liste totale de dix éléments.
Parmi les candidats à 5 chiffres (de la forme \(\_ \_ \_ \_0\)), les plus petits sont :
\[
10000,\; 10010,\; 10100,\; \ldots
\] (On n’a besoin que des trois premiers.)
Ainsi, les dix plus petits éléments de \(M_{5}\) sont : \[ \boxed{10,\; 100,\; 110,\; 1000,\; 1010,\; 1100,\; 1110,\; 10000,\; 10010,\; 10100.} \]
Condition :
- Nombres ne comportant que les chiffres 0 et 1.
- Divisibilité par 9 : un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Dans nos nombres, la somme des chiffres est simplement le nombre de 1 qui y apparaissent.
Pour obtenir un multiple de 9, le nombre de 1 doit être 9, 18, … Le plus petit cas est d’avoir exactement 9 chiffres 1.
Cas le plus petit :
- Un nombre écrit avec 9 chiffres tous égaux à 1 :
\[
111\,111\,111.
\] (La somme des chiffres est 9.)
Ensuite, pour agrandir la liste, on peut considérer les nombres à 10 chiffres comportant exactement neuf 1 (et un 0). Il y a plusieurs façons de placer le 0. Pour obtenir les plus petits nombres, on place le 0 le plus à gauche possible (tout en respectant que le premier chiffre doit être 1).
Liste :
On retient les 10 plus petits éléments (en ordre croissant) :
On peut écrire la liste ainsi : \[ \boxed{111111111,\; 1011111111,\; 1101111111,\; 1110111111,\; 1111011111,\; 1111101111,\; 1111110111,\; 1111111011,\; 1111111101,\; 1111111110.} \]
Condition :
- Les nombres ne comportent que des 0 et des 1.
- Divisibilité par 2 : un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
Parmi 0 et 1, seul 0 est pair.
Donc, un élément de \(M_{2}\) se termine obligatoirement par 0.
Cette condition est exactement la même que pour \(M_{5}\) (car pour \(M_5\), le nombre doit se terminer par 0) et \(M_{10}\) (voir ci‑dessus).
Par conséquent, la liste des dix plus petits éléments de \(M_{2}\) est identique à celle obtenue pour \(M_{5}\) :
\[ \boxed{10,\; 100,\; 110,\; 1000,\; 1010,\; 1100,\; 1110,\; 10000,\; 10010,\; 10100.} \]
Condition :
- Le nombre ne comporte que les chiffres 0 et 1.
- Divisible par 10 : la condition est que le nombre se termine par 0.
On est dans le même cas que pour \(M_{2}\) et \(M_{5}\).
Ainsi, la liste des dix plus petits éléments de \(M_{10}\) est : \[ \boxed{10,\; 100,\; 110,\; 1000,\; 1010,\; 1100,\; 1110,\; 10000,\; 10010,\; 10100.} \]
Condition :
- Les chiffres autorisés sont 0 et 1 uniquement.
- Divisible par 8 : une condition nécessaire est que les trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8.
Parmi les nombres à trois chiffres constitués de 0 et 1, on vérifie que
\[
000=0
\] est divisible par 8, tandis que
\[
001,\, 010,\, 011,\, 100,\, 101,\, 110,\, 111
\] ne le sont pas (leurs valeurs sont respectivement 1, 10, 11, 100, 101, 110 et 111, et aucune de ces valeurs n’est divisible par 8).
Conclusion :
Pour qu’un nombre composé uniquement de 0 et de 1 soit divisible par 8, il faut que ses trois derniers chiffres soient « 000 ».
Construction des plus petits éléments :
Nombre à 4 chiffres :
Pour obtenir un nombre se terminant par 000, la plus courte possibilité est
\[
1000 \quad (\text{car le premier chiffre doit être }1).
\]
Nombres à 5 chiffres :
La forme est \(\_0000\) avec le premier chiffre égal à 1 et le dernier groupe de trois chiffres égal à 000.
On peut écrire :
\[
10000 \quad \text{et} \quad 11000.
\]
Nombres à 6 chiffres :
Ils sont de la forme \(\_ \_000\) avec le premier chiffre égal à 1.
Les candidats en ordre croissant sont : \[
100000,\; 101000,\; 110000,\; 111000.
\]
Nombre à 7 chiffres :
Pour compléter une liste de dix éléments, il suffit de prendre les trois plus petits nombres à 7 chiffres se terminant par 000.
Les nombres à 7 chiffres se construisent à partir d’un bloc de 4 chiffres (commençant par 1) suivi de « 000 ». Les plus petits blocs, en ordre croissant, sont : \[
1000,\; 1001,\; 1010,\ldots
\] Ce qui donne les nombres : \[
1000000 \quad (\text{pour } 1000\,000),\\[1mm]
1001000 \quad (\text{pour } 1001\,000),\\[1mm]
1010000 \quad (\text{pour } 1010\,000).
\]
Ainsi, en les rangeant par ordre croissant, les dix plus petits éléments de \(M_{8}\) sont :
On écrit la réponse : \[ \boxed{1000,\; 10000,\; 11000,\; 100000,\; 101000,\; 110000,\; 111000,\; 1000000,\; 1001000,\; 1010000.} \]
Condition :
Le nombre doit satisfaire trois contraintes :
Procédure :
On recherche donc les plus petits nombres composés de 0 et 1, se terminant par 0, et dont le nombre de 1 est un multiple de 3.
Parmi les nombres à peu de chiffres :
À 2 ou 3 chiffres :
À 4 chiffres :
On écrit tous les candidats se terminant par 0 :
\[
1000 \;(\text{1 occurrence}),\quad 1010 \;(\text{2 occurrences}),\quad 1100 \;(\text{2 occurrences}),\quad 1110 \;(\text{3 occurrences}).
\] Seul \(1110\) a 3 occurrences de 1 et convient.
À 5 chiffres :
Les candidats de la forme \(\_ \_ \_ \_0\) avec le premier chiffre égal à 1 :
\[
\begin{array}{lcl}
10000 & \to & 1 \;(\text{non})\\[1mm]
10010 & \to & 1+0+0+1+0=2 \;(\text{non})\\[1mm]
10100 & \to & 1+0+1+0+0=2 \;(\text{non})\\[1mm]
10110 & \to & 1+0+1+1+0=3 \;(\textbf{ok})\\[1mm]
11000 & \to & 1+1+0+0+0=2 \;(\text{non})\\[1mm]
11010 & \to & 1+1+0+1+0=3 \;(\textbf{ok})\\[1mm]
11100 & \to & 1+1+1+0+0=3 \;(\textbf{ok})\\[1mm]
11110 & \to & 4 \;(\text{non})
\end{array}
\] Ainsi, on obtient trois nombres valides : \(10110\), \(11010\) et \(11100\).
À ce stade, nous avons trouvé : - À 4 chiffres : \(1110\).
- À 5 chiffres : \(10110\), \(11010\) et \(11100\).
Soit un total de 4 nombres.
À 6 chiffres :
Les nombres sont de la forme \(\text{digit}_1\,\text{digit}_2\,\text{digit}_3\,\text{digit}_4\,\text{digit}_5\,0\) avec \(\text{digit}_1=1\). Nous recherchons ceux ayant un nombre de 1 égal à 3 (ou 6, mais 6 serait trop grand en valeur).
Listons quelques candidats en ordre croissant (on ne retient que ceux où la somme des chiffres est 3) : \[ \begin{array}{lcl} 100110 & : & 1+0+0+1+1+0=3,\quad \textbf{ok}\\[1mm] 101010 & : & 1+0+1+0+1+0=3,\quad \textbf{ok}\\[1mm] 101100 & : & 1+0+1+1+0+0=3,\quad \textbf{ok}\\[1mm] 110010 & : & 1+1+0+0+1+0=3,\quad \textbf{ok}\\[1mm] 110100 & : & 1+1+0+1+0+0=3,\quad \textbf{ok}\\[1mm] 111000 & : & 1+1+1+0+0+0=3,\quad \textbf{ok} \end{array} \]
En les classant par ordre croissant, on obtient les six nombres :
\(100110\), \(101010\), \(101100\), \(110010\), \(110100\) et \(111000\).
Nous avons ainsi :
- 1 nombre à 4 chiffres,
- 3 nombres à 5 chiffres,
- 6 nombres à 6 chiffres.
Cela fait au total \(1+3+6=10\) nombres.
La liste, par ordre croissant, est :
On écrit donc : \[ \boxed{1110,\; 10110,\; 11010,\; 11100,\; 100110,\; 101010,\; 101100,\; 110010,\; 110100,\; 111000.} \]
Chaque liste est obtenue en appliquant le critère de divisibilité propre à \(p\) et en choisissant les plus petits nombres (en termes de valeur) écrits avec les seuls chiffres 0 et 1.
Cette démarche permet de comprendre comment les conditions (finir par 0, nombre de 1, etc.) réduisent le nombre de candidats et guident la recherche des éléments les moins élevés de chaque ensemble.