Exercice 8

Exercice :

Énumérez les éléments des ensembles suivants :

1. \(\mathrm{Div}_7\)
2. \(\mathrm{Div}_{12}\)
3. \(\mathrm{Div}_{15}\)
4. \(\mathrm{Div}_{20}\)

Réponse

Réponse courte :

• Div₇ = {1, 7}
• Div₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• Div₁₅ = {1, 3, 5, 15}
• Div₂₀ = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer l’ensemble des diviseurs de chaque nombre en procédant étape par étape. Un diviseur d’un nombre \(n\) est un entier positif qui divise \(n\) sans laisser de reste. Nous noterons \(\mathrm{Div}_n\) l’ensemble des diviseurs de \(n\).

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1. Détermination de \(\mathrm{Div}_7\)

Le nombre \(7\) est premier. Cela signifie qu’il n’a que deux diviseurs positifs : \(1\) (qui divise tout entier) et \(7\) lui-même.

• Vérification :
  • \(1\) divise \(7\) car \(7 \div 1 = 7\) est un entier.
  • \(7\) divise \(7\) car \(7 \div 7 = 1\) est un entier.
  • Aucun autre entier strictement compris entre \(1\) et \(7\) ne divise \(7\) sans reste.

Donc, nous avons : \[ \mathrm{Div}_7 = \{1, 7\}. \]

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2. Détermination de \(\mathrm{Div}_{12}\)

Pour \(12\), nous devons trouver tous les entiers positifs qui divisent \(12\) sans reste.

• Méthode : On teste les entiers de \(1\) jusqu’à \(12\).
  • \(1\) : \(12 \div 1 = 12\) → entier.
  • \(2\) : \(12 \div 2 = 6\) → entier.
  • \(3\) : \(12 \div 3 = 4\) → entier.
  • \(4\) : \(12 \div 4 = 3\) → entier.
  • \(5\) : \(12 \div 5 = 2.4\) → pas un entier.
  • \(6\) : \(12 \div 6 = 2\) → entier.
  • \(7\) jusqu’à \(11\) : Ces nombres ne divisent pas \(12\) exactement.
  • \(12\) : \(12 \div 12 = 1\) → entier.

Donc, nous avons : \[ \mathrm{Div}_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}. \]

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3. Détermination de \(\mathrm{Div}_{15}\)

Pour \(15\), cherchons les entiers positifs qui divisent \(15\).

• Vérification :
  • \(1\) : \(15 \div 1 = 15\) → entier.
  • \(2\) : \(15 \div 2 = 7.5\) → pas un entier.
  • \(3\) : \(15 \div 3 = 5\) → entier.
  • \(4\) : \(15 \div 4 = 3.75\) → pas un entier.
  • \(5\) : \(15 \div 5 = 3\) → entier.
  • \(6\) à \(14\) : Aucun de ces nombres ne divise \(15\) sans reste.
  • \(15\) : \(15 \div 15 = 1\) → entier.

Ainsi, nous avons : \[ \mathrm{Div}_{15} = \{1, 3, 5, 15\}. \]

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4. Détermination de \(\mathrm{Div}_{20}\)

Pour \(20\), examinons les diviseurs possibles.

• Étapes :
  • \(1\) : \(20 \div 1 = 20\) → entier.
  • \(2\) : \(20 \div 2 = 10\) → entier.
  • \(3\) : \(20 \div 3 \approx 6.67\) → pas un entier.
  • \(4\) : \(20 \div 4 = 5\) → entier.
  • \(5\) : \(20 \div 5 = 4\) → entier.
  • \(6\) et \(7\) : ne divisent pas exactement \(20\).
  • \(8\) et \(9\) : ne divisent pas \(20\) sans reste.
  • \(10\) : \(20 \div 10 = 2\) → entier.
  • Les entiers de \(11\) à \(19\) ne divisent pas \(20\) correctement.
  • \(20\) : \(20 \div 20 = 1\) → entier.

Nous obtenons donc : \[ \mathrm{Div}_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}. \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(\mathrm{Div}_7 = \{1, 7\}\)
2. \(\mathrm{Div}_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\)
3. \(\mathrm{Div}_{15} = \{1, 3, 5, 15\}\)
4. \(\mathrm{Div}_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\)

Chaque ensemble est obtenu en testant de manière systématique les entiers de \(1\) à \(n\) et en retenant ceux pour lesquels la division par \(n\) donne un résultat entier. Cette méthode permet de s’assurer que tous les diviseurs ont été trouvés.