Exercice 6

Chaque case blanche doit contenir un chiffre :

Horizontalement : - (a) Est un multiple de 7. - (b) Est égal à (a) augmenté de 1. - (c) Le carré du carré de ce nombre est égal à la somme des carrés de (a) et de (b). - (e) Est constitué de trois chiffres consécutifs.

Verticalement : - (d) La somme de ses chiffres est égale à 3. - (f) Est un multiple de 15.

Réponse

Réponse : (a)=0, (b)=1, (c)=1, (e)=123 (horizontalement) et (d)=3, (f)=15 (verticalement).

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre l’énigme en examinant chacune des conditions données et en essayant de choisir pour chaque « case » (c’est-à-dire pour chaque nombre à placer dans une suite de cases contenant un ou plusieurs chiffres) un nombre qui vérifie la contrainte correspondante. Bien que plusieurs solutions puissent exister en principe, une solution cohérente et simple est la suivante.

Nous avons six nombres notés :
- Horizontalement : (a), (b), (c) et (e).
- Verticalement : (d) et (f).

Les indices sont :

1. (a) « est un multiple de 7 »
   Un nombre est multiple de 7 s’il est divisible par 7. Dans le cas particulier d’un nombre qui se place dans une case (donc un seul chiffre), les possibilités sont 0 et 7 (puisque 7 est le seul chiffre non nul divisible par 7, et 0 est considéré comme multiple de 7).
   Pour simplifier notre raisonnement nous choisissons
   \[ (a)=0. \]

2. (b) « est égal à (a) augmenté de 1 »
   L’énoncé nous dit que
   \[ (b)=(a)+1. \] Avec \((a)=0\), on obtient
   \[ (b)=0+1=1. \]

3. (c) « le carré du carré de ce nombre est égal à la somme des carrés de (a) et de (b) »
   Cette formulation signifie qu’on doit élever (c) au carré, puis prendre le carré de ce résultat, c’est-à-dire calculer \((c^2)^2=c^4\), et l’égaliser à la somme \(a^2+b^2\). La relation à satisfaire est donc
   \[ c^4 = a^2+b^2. \] Or avec \((a)=0\) et \((b)=1\) nous avons
   \[ a^2+b^2=0^2+1^2=0+1=1. \] Ainsi, l’équation devient
   \[ c^4=1. \] Pour trouver un chiffre (nous cherchons ici un nombre inscrit dans une case) qui vérifie cette relation, nous remarquons que
   \[ 1^4=1. \] La seule solution positive (et adaptée pour un chiffre) est donc
   \[ (c)=1. \]

4. (e) « est constitué de trois chiffres consécutifs »
   Un nombre de trois chiffres dont les chiffres sont consécutifs (c’est-à-dire que l’on a, par exemple, 1 puis 2 puis 3) peut être choisi parmi : 123, 234, 345, etc. Pour la solution la plus simple, nous prenons
   \[ (e)=123. \]

5. (d) (vertical) « La somme de ses chiffres est égale à 3 »
   Parmi les nombres dont la somme des chiffres est égale à 3, le plus simple est le nombre à un seul chiffre
   \[ (d)=3, \] puisque \(3\) lui-même a pour somme de chiffres \(3\). (Il aurait également été possible de choisir par exemple 12, car \(1+2=3\), mais le choix de 3 est le plus direct.)

6. (f) (vertical) « est un multiple de 15 »
   Pour être un multiple de 15, un nombre doit être divisible par 15. Le plus petit nombre strictement positif ainsi est 15. Nous choisissons donc
   \[ (f)=15. \]

Récapitulons la solution obtenue :

• Horizontalement :
  • \((a)=0\),
  • \((b)=1\),
  • \((c)=1\),
  • \((e)=123\).
• Verticalement :
  • \((d)=3\),
  • \((f)=15\).

Chaque condition est vérifiée :
- (a) est 0, qui est bien divisible par 7 ;
- (b) est 0 + 1 = 1 ;
- (c) vérifie \(1^4=1=0^2+1^2\) ;
- (e) est composé des trois chiffres 1, 2 et 3, qui sont consécutifs ;
- (d) a pour somme de chiffres \(3=3\) ;
- (f) est 15, un multiple de 15.

Cette solution satisfait l’ensemble des règles de l’énigme.