a) Complétez le tableau suivant en utilisant l’exemple donné :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 360 | |||||||||
| 1745 | |||||||||
| 1296 | |||||||||
| 84207 | |||||||||
| 36252 | |||||||||
| 311 | |||||||||
| 3125 |
b) Répondez aux questions suivantes :
Voici la réponse résumée :
Tableau de divisibilité : • 360 : divisible par 2, 3, 4, 5, 9 et 10. • 1745 : divisible par 5 uniquement. • 1296 : divisible par 2, 3, 4 et 9. • 84207 : divisible par 3 uniquement. • 36252 : divisible par 2, 3, 4 et 9. • 311 : divisible par aucun des nombres. • 3125 : divisible par 5 et 25.
Réponses aux questions :
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On doit indiquer par un « x » si le nombre de la ligne est divisible par le nombre indiqué dans la colonne. Pour vérifier la divisibilité, on utilise des critères simples. Regardons chaque ligne :
On vérifie chacun des diviseurs :
Divisible par 2 ?
Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair. Le dernier chiffre de 360 est 0, qui est pair.
\[
360 \div 2 = 180 \quad \rightarrow \quad \text{x}
\]
Divisible par 3 ?
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
\[
3+6+0 = 9 \quad \text{et} \quad 9 \div 3 = 3 \quad \rightarrow \quad \text{x}
\]
Divisible par 4 ?
On regarde les deux derniers chiffres : 60.
\[
60 \div 4 = 15 \quad \text{donc } \quad \text{x}
\]
Divisible par 5 ?
Le nombre se termine par 0 ou 5. Ici, 360 se termine par 0.
\[
360 \div 5 = 72 \quad \rightarrow \quad \text{x}
\]
Divisible par 9 ?
La somme des chiffres est 9 et 9 est divisible par 9.
\[
360 \div 9 = 40 \quad \rightarrow \quad \text{x}
\]
Divisible par 10 ?
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.
\[
360 \div 10 = 36 \quad \rightarrow \quad \text{x}
\]
Divisible par 25 ?
Pour être divisible par 25, un nombre doit se terminer par 00, 25, 50 ou 75. Ici, 360 se termine par 60.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Divisible par 50 ?
Un nombre divisible par 50 doit se terminer par 00 ou 50.
\[
360 \text{ ne se termine ni par 00 ni par 50} \quad \rightarrow \quad \text{Pas de } x.
\]
Divisible par 100 ?
Le test est que le nombre doit se terminer par 00.
\[
360 \text{ ne se termine pas par 00} \quad \rightarrow \quad \text{Pas de } x.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 360 | x | x | x | x | x | x |
Vérifions la divisibilité :
Par 2 :
Le dernier chiffre est 5 (impair)
\[
1745 \div 2 \quad \text{non divisible} \quad \rightarrow \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 3 :
Somme des chiffres :
\[
1+7+4+5 = 17 \quad \text{et} \quad 17 \nmid 3 \quad \rightarrow \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 4 :
On regarde les deux derniers chiffres : 45.
\[
45 \div 4 = 11,25 \quad \text{donc non divisible} \quad \rightarrow \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 5 :
Se termine par 5.
\[
1745 \div 5 = 349 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 9 :
La somme des chiffres est 17, qui n’est pas un multiple de 9.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 10 :
Se termine par 5 (et non 0).
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 25 :
Deux derniers chiffres “45” ne correspondent pas à 00, 25, 50 ou 75.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 50 :
Pour être divisible par 50, il faut être pair et se terminer par 00 ou 50.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 100 :
Ne se termine pas par 00.
\[
\text{Pas de } x.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1745 | x |
Vérifions chaque critère :
Par 2 :
Le dernier chiffre est 6 (pair).
\[
1296 \div 2 = 648 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 3 :
Somme des chiffres :
\[
1+2+9+6 = 18 \quad \text{et} \quad 18 \div 3 = 6 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 4 :
Les deux derniers chiffres forment 96.
\[
96 \div 4 = 24 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 5 :
Se termine par 6, donc non divisible par 5.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 9 :
La somme des chiffres (18) est divisible par 9 (18 ÷ 9 = 2).
\[
x.
\]
Par 10 :
Le dernier chiffre n’est pas 0.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 25, 50, 100 :
Les conditions de fin de nombre ne sont pas réunies.
\[
\text{Pas de } x \quad pour \; 25, \; 50 \; et \; 100.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1296 | x | x | x | x |
Examinons les critères :
Par 2 :
Le dernier chiffre est 7, impair.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 3 :
Somme des chiffres :
\[
8+4+2+0+7 = 21 \quad \text{et} \quad 21 \div 3 = 7 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 4 :
Les deux derniers chiffres sont « 07 » (soit 7).
\[
7 \div 4 \quad \text{non entier} \quad \rightarrow \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 5 :
Le nombre ne se termine ni par 0 ni par 5.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 9 :
La somme (21) n’est pas divisible par 9 (9×2=18, 9×3=27).
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 10, 25, 50, 100 :
Les critères ne sont pas remplis (finition du nombre).
\[
\text{Pas de } x.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 84207 | x |
Vérifions :
Par 2 :
Le dernier chiffre est 2 (pair).
\[
36252 \div 2 = 18126 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 3 :
Somme des chiffres :
\[
3+6+2+5+2 = 18 \quad \text{et} \quad 18 \div 3 = 6 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 4 :
Les deux derniers chiffres sont 52.
\[
52 \div 4 = 13 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 5 :
Se termine par 2, donc non divisible par 5.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 9 :
La somme 18 est divisible par 9 (18 ÷ 9 = 2).
\[
x.
\]
Par 10, 25, 50, 100 :
Les critères ne sont pas satisfaits.
\[
\text{Pas de } x.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 36252 | x | x | x | x |
Vérifions :
Par 2 :
311 se termine par 1, impair.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 3 :
Somme des chiffres :
\[
3+1+1 = 5 \quad \text{donc non divisible par 3} \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 4 :
Les deux derniers chiffres « 11 » ne sont pas divisibles par 4.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 5 :
Se termine par 1, pas 0 ni 5.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 9, 10, 25, 50, 100 :
Aucun critère n’est rempli.
\[
\text{Pas de } x.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 311 |
Vérifions minutieusement :
Par 2 :
Se termine par 5 (impair).
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 3 :
Somme des chiffres :
\[
3+1+2+5 = 11 \quad \text{non divisible par 3} \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 4 :
Les deux derniers chiffres sont 25.
\[
25 \div 4 = 6,25 \quad \text{non divisible} \quad \text{Pas de } x.
\]
Par 5 :
Se termine par 5.
\[
3125 \div 5 = 625 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 9 :
Somme des chiffres égale 11, donc non divisible par 9.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 10 :
Le nombre ne se termine pas par 0.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 25 :
Pour être divisible par 25, le nombre doit se terminer par 00, 25, 50 ou 75.
Ici, 3125 se termine par 25.
\[
3125 \div 25 = 125 \quad \rightarrow \quad x.
\]
Par 50 :
Un nombre divisible par 50 doit être pair et se terminer par 00 ou 50.
3125 n’est pas pair.
\[
\text{Pas de } x.
\]
Par 100 :
Le test échoue puisque le nombre ne se termine pas par 00.
\[
\text{Pas de } x.
\]
La ligne se complète ainsi :
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3125 | x | x |
Nous allons répondre à chaque question avec des explications simples :
Soit un nombre \(N\) divisible par \(50\). Cela signifie : \[ N = 50 \times k \] Pour vérifier s’il est divisible par \(10\), on peut écrire : \[ N = 50 \times k = 10 \times (5 \times k) \] Puisque \(5 \times k\) est un entier, \(N\) est divisible par \(10\).
Réponse : Oui.
Si \(N\) est divisible par \(50\), alors : \[ N = 50 \times k = 25 \times (2 \times k) \] Ici, \(2 \times k\) est un entier, ce qui montre que \(N\) est également divisible par \(25\).
Réponse : Oui.
Le nombre \(4\) s’écrit \(4 = 2 \times 2\). Donc, si un nombre \(N\) est divisible par \(4\), il est aussi divisible par \(2\).
En effet, si : \[
N = 4 \times k = 2 \times (2 \times k)
\] alors \(N\) est divisible par \(2\).
Réponse : Oui.
Les nombres \(3\) et \(5\) n’ont aucun diviseur commun autre que \(1\). Donc, si un nombre \(N\) est divisible par \(3\) et par \(5\), il est divisible par leur produit : \[ N = 3 \times p = 5 \times q \quad \Longrightarrow \quad N = 15 \times r \] avec \(r\) entier.
Réponse : Oui.
Soit \(N\) un nombre divisible par \(50\). On a : \[
N = 50 \times k
\] Les diviseurs de \(50\) (positifs) sont : \(1\), \(2\), \(5\), \(10\), \(25\) et \(50\) lui-même.
Donc, \(N\) est également divisible par : - \(2\) (car \(50 = 2 \times 25\)) - \(5\) (car \(50 = 5 \times 10\)) - \(10\) (car \(50 = 10 \times 5\)) - \(25\) (car \(50 = 25 \times 2\))
Réponse : Un nombre divisible par \(50\) est aussi divisible par \(2\), \(5\), \(10\) et \(25\).
Soit \(N\) divisible par \(30\). Comme \(30 = 2 \times 3 \times 5\), les diviseurs de \(30\) (positifs) sont : \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\) et \(30\) lui-même.
Cela signifie que : - \(N\) est divisible par \(2\) (puisque \(30 = 2 \times 15\)) - Par \(3\) (car \(30 = 3 \times 10\)) - Par \(5\) (car \(30 = 5 \times 6\)) - Par \(6\) (car \(30 = 6 \times 5\)) - Par \(10\) (car \(30 = 10 \times 3\)) - Par \(15\) (car \(30 = 15 \times 2\)) - Et évidemment par \(30\).
Réponse : Un nombre divisible par \(30\) est également divisible par \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\) et \(30\).
| Nombres divisibles par | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 10 | 25 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 360 | x | x | x | x | x | x | |||
| 1745 | x | ||||||||
| 1296 | x | x | x | x | |||||
| 84207 | x | ||||||||
| 36252 | x | x | x | x | |||||
| 311 | |||||||||
| 3125 | x | x |
Ainsi, toutes les réponses ont été vérifiées et expliquées étape par étape.