Un menuisier souhaite construire un escalier en deux parties, dont les hauteurs verticales sont respectivement de \(3,06\,\text{m}\) et de \(3,24\,\text{m}\). Afin que toutes les marches aient la même hauteur, celle-ci doit être comprise entre \(15\,\text{cm}\) et \(20\,\text{cm}\).
Déterminez la hauteur exacte de chaque marche ainsi que le nombre total de marches.
La hauteur de chaque marche est de 18 cm et l’escalier comporte 35 marches.
Nous allons déterminer la hauteur commune \(h\) (exprimée en centimètres) de chaque marche et le nombre total de marches de l’escalier.
Données du problème :
Pour que chaque partie soit constituée d’un nombre entier de marches, il faut que \(h\) divise exactement 306 et 324.
Étapes de la résolution :
Exprimer les hauteurs en centimètres :
\[ 3,06\,\text{m} = 306\,\text{cm} \quad \text{et} \quad 3,24\,\text{m} = 324\,\text{cm} \]
Rechercher une valeur \(h\) entre 15 cm et 20 cm qui divise exactement 306 et 324 :
On cherche \(h\) entier tel que :
\[ \frac{306}{h} \quad \text{et} \quad \frac{324}{h} \]
soient des nombres entiers.
Tester \(h = 15\,\text{cm}\) :
\[ \frac{306}{15} = 20,4 \quad (\text{non entier}) \]
Tester \(h = 16\,\text{cm}\) :
\[ \frac{306}{16} \approx 19,125 \quad (\text{non entier}) \]
Tester \(h = 17\,\text{cm}\) :
\[ \frac{306}{17} = 18 \quad \text{(entier)} \]
Vérifions pour 324 cm :
\[ \frac{324}{17} \approx 19,0588 \quad (\text{non entier}) \]
Tester \(h = 18\,\text{cm}\) :
\[ \frac{306}{18} = 17 \quad \text{et} \quad \frac{324}{18} = 18 \]
Ces deux rapports sont des nombres entiers et \(18\,\text{cm}\) est bien dans l’intervalle \([15\,\text{cm}, 20\,\text{cm}]\).
Calculer le nombre total de marches :
Dans la première partie, le nombre de marches est :
\[ n_1 = \frac{306}{18} = 17 \]
Dans la deuxième partie, le nombre de marches est :
\[ n_2 = \frac{324}{18} = 18 \]
Le nombre total de marches est donc :
\[ n_{\text{total}} = 17 + 18 = 35 \]
Conclusion :
Cette solution garantit que toutes les marches ont la même hauteur et que chaque partie de l’escalier comporte un nombre entier de marches.