Exercice 3

Exercice

Trouver :

  1. les carrés parfaits compris entre 30 et 70 ;

  2. les carrés parfaits divisant 144 ;

  3. les cubes parfaits multiples de 3 ;

  4. les cubes parfaits compris entre 50 et 200 ;

  5. les cubes parfaits multiples de 4 ;

  6. les nombres qui sont à la fois des carrés parfaits et des cubes parfaits ;

  7. les diviseurs de 500 supérieurs à 250 ;

  8. les nombres premiers divisibles par 1 et par 3 ;

  9. les multiples de 9 compris entre 30 et 40 ;

  10. un multiple de 6 et de 9 qui se termine par 2 ;

  11. les nombres multiples de 6 et de 9 compris entre 80 et 140 ;

  12. un multiple de 7 et de 9 qui se termine par 7.

Réponse

  1. 36, 49, 64
  2. 1, 4, 9, 16, 36, 144
  3. Tous les cubes de la forme (3k)³ (ex. 27, 216, …)
  4. 64 et 125
  5. Tous les cubes de la forme (2k)³ (ex. 8, 64, …)
  6. Tous les nombres p⁶ (ex. 1, 64, 729, …)
  7. 500
  8. 3
  9. 36
  10. 72
  11. 90, 108, 126
  12. 567

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque point de l’exercice :

a) Carrés parfaits compris entre 30 et 70

Un carré parfait est un nombre qui peut s’écrire sous la forme \(n^2\) avec \(n\) entier.

  1. Calculons quelques carrés :
    • \(5^2 = 25\)
    • \(6^2 = 36\)
    • \(7^2 = 49\)
    • \(8^2 = 64\)
    • \(9^2 = 81\)
  2. On recherche ceux qui sont compris strictement entre 30 et 70.
    • \(36\), \(49\) et \(64\) sont candidats.
    • Toutefois, il est important de vérifier l’intervalle :
      • \(36\) et \(49\) sont clairement entre 30 et 70.
      • \(64\) est également entre 30 et 70.
  3. Ainsi, les carrés parfaits entre 30 et 70 sont
    \[ 36,\ 49,\ 64. \]
b) Carrés parfaits divisant 144

Ici, il faut trouver parmi les diviseurs de 144 ceux qui sont des carrés parfaits.

  1. La décomposition en facteurs premiers de 144 est : \[ 144 = 2^4 \times 3^2. \]

  2. Un diviseur de 144 a la forme \(2^a \times 3^b\) où \(0 \leq a \leq 4\) et \(0 \leq b \leq 2\).

  3. Pour que ce diviseur soit un carré parfait, les exposants \(a\) et \(b\) doivent être des nombres pairs.

    • Pour \(a\) : possible si \(a = 0, 2, 4\).
    • Pour \(b\) : possible si \(b = 0, 2\).

  4. Les diviseurs qui se forment sont donc :

    • \(a = 0 ,\, b = 0\) : \(2^0 \times 3^0 = 1\)
    • \(a = 0 ,\, b = 2\) : \(2^0 \times 3^2 = 9\)
    • \(a = 2 ,\, b = 0\) : \(2^2 \times 3^0 = 4\)
    • \(a = 2 ,\, b = 2\) : \(2^2 \times 3^2 = 36\)
    • \(a = 4 ,\, b = 0\) : \(2^4 \times 3^0 = 16\)
    • \(a = 4 ,\, b = 2\) : \(2^4 \times 3^2 = 144\)

  5. Les carrés parfaits divisant 144 sont
    \[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 36,\ 144. \]

c) Cubes parfaits multiples de 3

Un cube parfait est un nombre de la forme \(n^3\).
Pour que \(n^3\) soit divisible par 3, il faut que \(n\) soit divisible par 3.

  1. On peut écrire \(n = 3k\) où \(k\) est un entier.

  2. Alors, le cube devient : \[ n^3 = (3k)^3 = 27k^3. \]

  3. Ainsi, tous les cubes parfaits de la forme \((3k)^3\) (avec \(k\) entier) sont multiples de 3.
    Par exemple :

    • Pour \(k = 1\) : \(3^3 = 27\)
    • Pour \(k = 2\) : \(6^3 = 216\)
    • Pour \(k = 3\) : \(9^3 = 729\)
    • etc.
d) Cubes parfaits compris entre 50 et 200

Recherchons les nombres de la forme \(n^3\) dans l’intervalle [50, 200].

  1. Calculons quelques cubes :

    • \(3^3 = 27\)
    • \(4^3 = 64\)
    • \(5^3 = 125\)
    • \(6^3 = 216\)

  2. Parmi ces valeurs, celles qui se trouvent entre 50 et 200 sont :
    \[ 64 \quad \text{et} \quad 125. \]

  3. Les cubes parfaits dans cet intervalle sont
    \[ 64\ \text{et}\ 125. \]

e) Cubes parfaits multiples de 4

Pour qu’un cube \(n^3\) soit un multiple de 4, il faut que le nombre \(n^3\) soit divisible par 4.

  1. Remarquons que si \(n\) est pair, alors \(n^3\) est divisible par 2³, donc par 8, et donc par 4.

  2. Par contre, si \(n\) est impair, \(n^3\) reste impair et ne peut pas être multiple de 4.

  3. Donc, tous les cubes parfaits ayant une racine paire sont multiples de 4.
    Ils s’écrivent sous la forme : \[ (2k)^3 = 8k^3 \quad \text{avec } k \text{ entier.} \] Par exemple :

    • Pour \(k=1\) : \(2^3 = 8\)
    • Pour \(k=2\) : \(4^3 = 64\)
    • Pour \(k=3\) : \(6^3 = 216\)
    • etc.
f) Nombres à la fois carrés parfaits et cubes parfaits

Un nombre qui est à la fois un carré parfait et un cube parfait admet deux écritures : \[ n^2 \quad \text{et} \quad m^3. \]

  1. Posons que le nombre est \(x\).
    Pour que \(x\) soit simultanément de la forme \(n^2\) et \(m^3\), il doit être de la forme : \[ x = p^6 \] car : \[ p^6 = (p^3)^2 = (p^2)^3. \]

  2. Les nombres cherché sont donc les 6-ièmes puissances d’un entier.
    Par exemple :

    • Pour \(p=1\) : \(1^6 = 1\)
    • Pour \(p=2\) : \(2^6 = 64\)
    • Pour \(p=3\) : \(3^6 = 729\)
    • etc.
g) Diviseurs de 500 supérieurs à 250

  1. Factorisons 500 : \[ 500 = 2^2 \times 5^3. \]

  2. Liste des diviseurs de 500 (en les regroupant par paires) :
    \[ 1,\ 2,\ 4,\ 5,\ 10,\ 20,\ 25,\ 50,\ 100,\ 125,\ 250,\ 500. \]

  3. On sélectionne ceux qui sont strictement supérieurs à 250.
    Seul 500 remplit cette condition.

  4. Le diviseur de 500 supérieur à 250 est
    \[ 500. \]

h) Nombres premiers divisibles par 1 et par 3

Un nombre premier ne possède que 1 et lui-même comme diviseurs.

  1. La question demande un nombre premier divisible par 3.

  2. Un nombre premier divisible par 3 doit être égal à 3, car pour tout autre multiple de 3, 3 serait un diviseur non trivial.

  3. Le nombre premier en question est
    \[ 3. \]

i) Multiples de 9 compris entre 30 et 40
  1. Les multiples de 9 sont de la forme \(9k\).
  2. Vérifions :
    • \(9 \times 3 = 27\) (inférieur à 30)
    • \(9 \times 4 = 36\)
    • \(9 \times 5 = 45\) (supérieur à 40)
  3. Le seul multiple de 9 dans l’intervalle [30, 40] est
    \[ 36. \]
j) Un multiple de 6 et de 9 qui se termine par 2
  1. Un nombre multiple de 6 et de 9 est un multiple de leur plus petit commun multiple (PPCM).
    • On a \(\text{PPCM}(6,9) = 18\).
  2. On cherche un multiple de 18 qui se termine par le chiffre 2.
    On écrit un nombre sous la forme \(18k\) et on teste successivement pour \(k \in \mathbb{N}\) :
    • \(k = 1: \quad 18\) se termine par 8.
    • \(k = 2: \quad 36\) se termine par 6.
    • \(k = 3: \quad 54\) se termine par 4.
    • \(k = 4: \quad 18 \times 4 = 72\) se termine par 2.
  3. Le nombre recherché est
    \[ 72. \]
k) Nombres multiples de 6 et de 9 compris entre 80 et 140

  1. Comme précédemment, les nombres multiples de 6 et de 9 sont des multiples de 18.

  2. Recherche des multiples de 18 dans l’intervalle [80, 140] :

    • \(18 \times 5 = 90\)
    • \(18 \times 6 = 108\)
    • \(18 \times 7 = 126\)
    • \(18 \times 8 = 144\) qui dépasse 140.

  3. Les nombres multiples de 18 dans cet intervalle sont
    \[ 90,\ 108,\ 126. \]

l) Un multiple de 7 et de 9 qui se termine par 7

  1. Le multiple commun des nombres 7 et 9 est donné par leur plus petit commun multiple.

    • \(\text{PPCM}(7,9) = 7 \times 9 = 63\) (puisque 7 et 9 sont premiers entre eux).

  2. On cherche un multiple de 63 qui se termine par 7, c’est-à-dire de la forme \(63k\) avec \(k \in \mathbb{N}\).

  3. Testons quelques valeurs :

    • \(k = 1: \quad 63\) se termine par 3.
    • \(k = 2: \quad 126\) se termine par 6.
    • \(k = 3: \quad 189\) se termine par 9.
    • \(k = 4: \quad 252\) se termine par 2.
    • \(k = 5: \quad 315\) se termine par 5.
    • \(k = 6: \quad 378\) se termine par 8.
    • \(k = 7: \quad 441\) se termine par 1.
    • \(k = 8: \quad 504\) se termine par 4.
    • \(k = 9: \quad 63 \times 9 = 567\) se termine par 7.

  4. Le multiple recherché est
    \[ 567. \]

Conclusion

Les réponses à l’exercice sont :

  1. \(36,\ 49,\ 64\).

  2. \(1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 36,\ 144\).

  3. Tous les cubes parfaits dont la racine est un multiple de 3, par exemple \(27,\ 216,\ 729,\dots\).

  4. \(64\) et \(125\).

  5. Tous les cubes parfaits dont la racine est paire, par exemple \(8,\ 64,\ 216,\dots\).

  6. Tous les nombres de la forme \(p^6\) (carré et cube à la fois), par exemple \(1,\ 64,\ 729,\dots\).

  7. \(500\).

  8. \(3\).

  9. \(36\).

  10. \(72\).

  11. \(90,\ 108,\ 126\).

  12. \(567\).

Chaque point a ainsi été traité de manière détaillée pour vous aider à comprendre les démarches mathématiques effectuées.

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