Exercice
Déterminez si les énoncés suivants sont vrais ou faux et justifiez vos réponses :
Tous les multiples de \(3\) sont pairs.
Aucun nombre impair n’est divisible par \(3\).
La somme de deux nombres premiers impairs est toujours un nombre pair.
Réponses : a) Faux
b) Faux
c) Vrai
Nous allons examiner chacun des énoncés un par un.
Étape 1 : Comprendre la définition d’un multiple de 3
Un nombre est multiple de \(3\) s’il peut s’écrire sous la forme : \[ 3 \times k \quad \text{avec } k \in \mathbb{Z}. \]
Étape 2 : Donner un contre-exemple
Conclusion
Puisque nous avons trouvé des exemples (comme \(3\) et \(9\)) qui sont des multiples de \(3\) et qui sont impairs, l’énoncé est faux.
Étape 1 : Comprendre la notion de divisibilité par 3
Dire qu’un nombre est divisible par \(3\) signifie qu’il s’écrit sous forme \(3 \times k\) avec \(k\) un entier.
Étape 2 : Vérifier avec un exemple connu
Conclusion
Étant donné que l’on trouve des nombres impairs (comme \(3\) et \(9\)) qui sont divisibles par \(3\), l’énoncé est faux.
Étape 1 : Rappel de la parité des nombres impairs
Un nombre impair se note généralement sous la forme : \[ 2k + 1 \quad \text{pour un entier } k. \]
Étape 2 : Addition de deux nombres impairs
Soit \(p\) et \(q\) deux nombres premiers impairs, qui s’écrivent respectivement : \[ p = 2k + 1 \quad \text{et} \quad q = 2m + 1 \quad \text{avec } k, m \in \mathbb{Z}. \]
Leur somme est : \[ p + q = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2 = 2(k + m + 1). \] La somme s’exprime comme \(2\) multiplié par un entier (\(k + m + 1\)), ce qui prouve que c’est un nombre pair.
Conclusion
La somme de deux nombres premiers impairs est toujours un nombre pair. L’énoncé est donc vrai.