Exercice 1
Exercice
Énumérez tous les diviseurs de \(42\) puis ceux de \(56\).
Identifiez les diviseurs communs aux deux ensembles.
Déterminez le plus grand de ces diviseurs communs.
Réponse
Les diviseurs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 et ceux de 56 sont 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Les diviseurs communs sont 1, 2, 7 et 14, et le plus grand est 14.
Corrigé détaillé
Nous allons résoudre cet exercice étape par étape.
a) Énumération des diviseurs
Pour \(42\) :
Un diviseur de \(42\) est un nombre entier positif qui divise \(42\) sans laisser de reste. Pour trouver tous les diviseurs, nous cherchons tous les nombres entre \(1\) et \(42\) qui remplissent cette condition.
- \(1\) divise toujours tout nombre.
- \(2\) : \(42 \div 2 = 21\) donc \(2\) est un diviseur.
- \(3\) : \(42 \div 3 = 14\) donc \(3\) est un diviseur.
- \(4\) : \(42 \div 4 = 10,5\) ce n’est pas un entier donc \(4\) n’est pas un diviseur.
- \(5\) : \(42 \div 5 = 8,4\) ce n’est pas un entier.
- \(6\) : \(42 \div 6 = 7\) donc \(6\) est un diviseur.
- \(7\) : \(42 \div 7 = 6\) donc \(7\) est un diviseur.
- \(14\) : \(42 \div 14 = 3\) donc \(14\) est un diviseur.
- \(21\) : \(42 \div 21 = 2\) donc \(21\) est un diviseur.
- \(42\) : \(42 \div 42 = 1\) donc \(42\) est un diviseur.
Ainsi, les diviseurs de \(42\) sont : \[
1,\;2,\;3,\;6,\;7,\;14,\;21,\;42.
\]
Pour \(56\) :
Nous appliquons le même raisonnement pour \(56\).
- \(1\) est toujours un diviseur.
- \(2\) : \(56 \div 2 = 28\) donc \(2\) est un diviseur.
- \(3\) : \(56 \div 3 \approx 18,67\) ce n’est pas un entier.
- \(4\) : \(56 \div 4 = 14\) donc \(4\) est un diviseur.
- \(5\) : \(56 \div 5 = 11,2\) ce n’est pas un entier.
- \(6\) : \(56 \div 6 \approx 9,33\) ce n’est pas un entier.
- \(7\) : \(56 \div 7 = 8\) donc \(7\) est un diviseur.
- \(8\) : \(56 \div 8 = 7\) donc \(8\) est un diviseur.
- \(14\) : \(56 \div 14 = 4\) donc \(14\) est un diviseur.
- \(28\) : \(56 \div 28 = 2\) donc \(28\) est un diviseur.
- \(56\) : \(56 \div 56 = 1\) donc \(56\) est un diviseur.
Ainsi, les diviseurs de \(56\) sont : \[
1,\;2,\;4,\;7,\;8,\;14,\;28,\;56.
\]
b) Identifier les diviseurs communs
Nous cherchons les nombres qui sont présents dans les deux listes.
- Diviseurs de \(42\) : \(1,\;2,\;3,\;6,\;7,\;14,\;21,\;42\)
- Diviseurs de \(56\) : \(1,\;2,\;4,\;7,\;8,\;14,\;28,\;56\)
Les nombres communs sont : \[
1,\;2,\;7,\;14.
\]
c) Déterminer le plus grand diviseur commun
Parmi les diviseurs communs (\(1\), \(2\), \(7\) et \(14\)), le nombre le plus grand est : \[
14.
\]
Conclusion
- Pour \(42\) : \(1,\;2,\;3,\;6,\;7,\;14,\;21,\;42\)
- Pour \(56\) : \(1,\;2,\;4,\;7,\;8,\;14,\;28,\;56\)
- Diviseurs communs : \(1,\;2,\;7,\;14\)
- Le plus grand diviseur commun : \(14\).
Cette démarche permet de trouver de manière claire et organisée les diviseurs ainsi que leur intersection.