Exercices corrigés - Divisibilité, multiples et diviseurs - 10e

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Exercice 1

Exercice

1. Énumérez tous les diviseurs de \(42\) puis ceux de \(56\).

2. Identifiez les diviseurs communs aux deux ensembles.

3. Déterminez le plus grand de ces diviseurs communs.

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Exercice 2

Exercice

Déterminez si les énoncés suivants sont vrais ou faux et justifiez vos réponses :

1. Tous les multiples de \(3\) sont pairs.

2. Aucun nombre impair n’est divisible par \(3\).

3. La somme de deux nombres premiers impairs est toujours un nombre pair.

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Exercice 3

Exercice

Trouver :

1. les carrés parfaits compris entre 30 et 70 ;

2. les carrés parfaits divisant 144 ;

3. les cubes parfaits multiples de 3 ;

4. les cubes parfaits compris entre 50 et 200 ;

5. les cubes parfaits multiples de 4 ;

6. les nombres qui sont à la fois des carrés parfaits et des cubes parfaits ;

7. les diviseurs de 500 supérieurs à 250 ;

8. les nombres premiers divisibles par 1 et par 3 ;

9. les multiples de 9 compris entre 30 et 40 ;

10. un multiple de 6 et de 9 qui se termine par 2 ;

11. les nombres multiples de 6 et de 9 compris entre 80 et 140 ;

12. un multiple de 7 et de 9 qui se termine par 7.

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Exercice 4

Un menuisier souhaite construire un escalier en deux parties, dont les hauteurs verticales sont respectivement de \(3,06\,\text{m}\) et de \(3,24\,\text{m}\). Afin que toutes les marches aient la même hauteur, celle-ci doit être comprise entre \(15\,\text{cm}\) et \(20\,\text{cm}\).

Déterminez la hauteur exacte de chaque marche ainsi que le nombre total de marches.

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Exercice 5

a) Complétez le tableau suivant en utilisant l’exemple donné :

Nombres divisibles par	2	3	4	5	9	10	25	50	100
360
1745
1296
84207
36252
311
3125

b) Répondez aux questions suivantes :

1. Un nombre divisible par \(50\) est-il divisible par \(10\) ?
2. Un nombre divisible par \(50\) est-il divisible par \(25\) ?
3. Un nombre divisible par \(4\) est-il divisible par \(2\) ?
4. Un nombre divisible par \(3\) et par \(5\) est-il divisible par \(15\) ?
5. Par quels autres nombres un nombre divisible par \(50\) l’est-il ?
6. Par quels autres nombres un nombre divisible par \(30\) l’est-il ?

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Exercice 6

Chaque case blanche doit contenir un chiffre :

Horizontalement : - (a) Est un multiple de 7. - (b) Est égal à (a) augmenté de 1. - (c) Le carré du carré de ce nombre est égal à la somme des carrés de (a) et de (b). - (e) Est constitué de trois chiffres consécutifs.

Verticalement : - (d) La somme de ses chiffres est égale à 3. - (f) Est un multiple de 15.

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Exercice 7

Exercice

Énumérez les diviseurs des nombres suivants :

1. \(\mathrm{Div}(6)\)
   
2. \(\mathrm{Div}(5)\)
   
3. \(\mathrm{Div}(10)\)
   
4. \(\mathrm{Div}(8)\)

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Exercice 8

Exercice :

Énumérez les éléments des ensembles suivants :

1. \(\mathrm{Div}_7\)
2. \(\mathrm{Div}_{12}\)
3. \(\mathrm{Div}_{15}\)
4. \(\mathrm{Div}_{20}\)

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Exercice 9

Énumérez les dix plus petits éléments des ensembles suivants : 1. \(M_{5}\) 2. \(M_{9}\) 3. \(M_{2}\) 4. \(M_{10}\) 5. \(M_{8}\) 6. \(M_{30}\)

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Exercice 10

Exercice

Énumérez les dix plus petits éléments des ensembles suivants :

1. \(M_{15}\)
2. \(M_{6}\)
3. \(M_{12}\)
4. \(M_{11}\)
5. \(M_{4}\)
6. \(M_{3}\)

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Exercice 11

Exercice

Un entier positif est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c’est-à-dire de ses diviseurs autres que lui-même). Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs propres sont \(\{1, 2, 3\}\) et \(1 + 2 + 3 = 6\).

1. Vérifier que \(28\) et \(496\) sont des nombres parfaits.
2. Deux entiers positifs sont appelés nombres amiables si chacun est égal à la somme des diviseurs propres de l’autre. Vérifier que les paires \(220\) et \(284\), ainsi que \(1184\) et \(1210\), sont amiables.

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Exercice 12

Exercice

Trouver un nombre à neuf chiffres composé des chiffres de 1 à 9 (chacun utilisé une seule fois) tel que :

• Le nombre formé par le premier chiffre (de gauche) est divisible par 1,
• Le nombre formé par les deux premiers chiffres est divisible par 2,
• Le nombre formé par les trois premiers chiffres est divisible par 3,
• Le nombre formé par les quatre premiers chiffres est divisible par 4,
• Et ainsi de suite jusqu’au nombre complet qui doit être divisible par 9.

Formulez une démarche permettant de trouver ce nombre.

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