Exercice 78

Transformer dans l’unité indiquée :

Exprimer \(1\,\text{h} \,2\,\text{min}\) en :
- minutes ;
- secondes .
Exprimer \(4580\,\text{s}\) en :
- minutes ;
- heures .
Exprimer \(2^\circ 7'\) en minutes d’angle.
Exprimer \(9780''\) en :
- minutes d’angle ;
- degrés, minutes et secondes.

Réponse

1 h 2 min = 62 min et 3720 s
4580 s = 76 min 20 s = 1 h 16 min 20 s
2° 7’ = 127’
9780’’ = 163’ = 2° 43’ 0’’

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

1. Transformer \(1\,\text{h} \,2\,\text{min}\)

a) En minutes

Nous savons que
\[ 1\,\text{heure} = 60\,\text{minutes}. \]

Donc,
\[ 1\,\text{h} \,2\,\text{min} = 60\,\text{min} + 2\,\text{min}. \]

Ainsi,
\[ 60 + 2 = 62\,\text{minutes}. \]

b) En secondes

Nous utilisons les conversions suivantes :
\[ 1\,\text{heure} = 3600\,\text{secondes} \quad \text{et} \quad 1\,\text{minute} = 60\,\text{secondes}. \]

Calculons d’abord pour l’heure :
\[ 1\,\text{h} = 3600\,\text{s}. \]

Ensuite, pour les minutes :
\[ 2\,\text{min} = 2 \times 60\,\text{s} = 120\,\text{s}. \]

En additionnant, on obtient :
\[ 3600\,\text{s} + 120\,\text{s} = 3720\,\text{secondes}. \]

2. Transformer \(4580\,\text{s}\)

a) En minutes

On a
\[ 1\,\text{minute} = 60\,\text{secondes}. \]

Pour trouver le nombre total de minutes, on divise \(4580\) par \(60\).
Calculons :

\[ 4580 \div 60 = 76 \quad \text{reste } 4580 - (76 \times 60). \]

Calculons \(76 \times 60\) :

\[ 76 \times 60 = 4560. \]

Le reste est :

\[ 4580 - 4560 = 20\,\text{secondes}. \]

On peut donc écrire : \[ 4580\,\text{s} = 76\,\textminutes\ et\ 20\,\textsecondes}. \]

b) En heures

Puisque
\[ 1\,\text{heure} = 3600\,\text{secondes}, \]

nous divisons \(4580\) par \(3600\) :

\[ 4580 \div 3600 = 1 \quad \text{reste } 4580 - 3600 = 980\,\text{secondes}. \]

Le quotient donne \(1\,\textheure}\) et le reste de \(980\,\text{secondes}\) peut être converti en minutes et secondes.
Sachant que
\[ 1\,\text{minute} = 60\,\text{secondes}, \]

divisons \(980\) par \(60\) :

\[ 980 \div 60 = 16 \quad \text{reste } 980 - (16 \times 60). \]

Calculons \(16 \times 60\) :

\[ 16 \times 60 = 960. \]

Le reste est :

\[ 980 - 960 = 20\,\text{secondes}. \]

Ainsi,
\[ 4580\,\text{s} = 1\,\text{h} \,16\,\text{min}\,20\,\text{s}. \]

3. Transformer \(2^\circ 7'\) en minutes d’angle

Il faut rappeler que
\[ 1^\circ = 60'\quad \text{(minutes d’angle)}. \]

Convertissons d’abord \(2^\circ\) en minutes :

\[ 2^\circ = 2 \times 60' = 120'. \]

Ensuite, on ajoute les \(7'\) déjà présentes :

\[ 120' + 7' = 127'. \]

Ainsi, \[ 2^\circ 7' = 127'\quad (\text{minutes d’angle}). \]

4. Transformer \(9780''\)

a) En minutes d’angle

On sait que :
\[ 1' = 60''. \]

Pour convertir \(9780''\) en minutes, on divise par \(60\) :

\[ 9780'' \div 60 = 163. \]

Ici, la division tombe juste, donc aucune seconde résiduelle n’apparaît.

Ainsi,
\[ 9780'' = 163' \quad (\text{minutes d’angle}). \]

b) En degrés, minutes et secondes d’angle

Pour cette conversion, nous utilisons la relation suivante :

\(1^\circ = 60'\)
\(1^\prime = 60''\)
donc,
\[ 1^\circ = 60 \times 60'' = 3600''. \]

Calcul du nombre de degrés :

Divisons \(9780''\) par \(3600\) :

\[ 9780'' \div 3600 = 2 \quad \text{reste } 9780 - (2 \times 3600). \]

Calculons \(2 \times 3600\) :

\[ 2 \times 3600 = 7200''. \]

Le reste est :

\[ 9780 - 7200 = 2580''. \]

Donc, nous avons \(2^\circ\) et \(2580''\) à convertir en minutes et secondes.

Conversion des secondes restantes en minutes et secondes :

Puisqu’un minute vaut \(60''\), divisons \(2580\) par \(60\) :

\[ 2580 \div 60 = 43 \quad \text{reste } 2580 - (43 \times 60). \]

Calculons \(43 \times 60\) :

\[ 43 \times 60 = 2580''. \]

Le reste est donc \(0''\).

Ainsi,
\[ 2580'' = 43' \quad \text{et} \quad 0''. \]

Finalement,
\[ 9780'' = 2^\circ\,43'\,0''. \]

Récapitulatif des réponses

\(1\,\text{h} \,2\,\text{min}\) :
- En minutes : \(62\,\text{minutes}\).
- En secondes : \(3720\,\text{secondes}\).
\(4580\,\text{s}\) :
- En minutes : \(76\,\text{minutes}\,20\,\text{secondes}\).
- En heures : \(1\,\text{h} \,16\,\text{min}\,20\,\text{s}\).
\(2^\circ 7'\) en minutes d’angle : \(127'\).
\(9780''\) :
- En minutes d’angle : \(163'\).
- En degrés, minutes et secondes d’angle : \(2^\circ\,43'\,0''\).

Cette démarche vous permet de comprendre comment transformer les unités de temps et de mesures d’angle pas à pas.