Complétez les espaces vides dans les équations suivantes :
Définition : L’aire totale d’un polyèdre est la somme des aires de toutes ses faces.
Réponses : 1. 6 dm³
2. 0,003 m³
3. 86100 dm³
4. 13200 cm³
Voici la correction complète de l’exercice avec un détail précis des conversions et des opérations :
Nous avons l’équation : \[ 21000\,\mathrm{cm}^3 - \ldots\,\mathrm{dm}^3 = 0,015\,\mathrm{m}^3 \]
Étape 1 : Convertir 21000 cm³ en m³
On sait que : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 10^6\,\mathrm{cm}^3 \] Donc : \[ 21000\,\mathrm{cm}^3 = \frac{21000}{10^6} = 0,021\,\mathrm{m}^3 \]
Étape 2 : Exprimer l’inconnue en m³
L’inconnue est donnée en \(\mathrm{dm}^3\) et on sait que : \[ 1\,\mathrm{dm}^3 = 10^{-3}\,\mathrm{m}^3 \] Soit \(X\) le nombre de \(\mathrm{dm}^3\) manquant. En m³, cela correspond à : \[ X\,\mathrm{dm}^3 = X \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^3 \]
Étape 3 : Écrire l’équation en m³ et résoudre
L’équation devient : \[ 0,021\,\mathrm{m}^3 - X \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^3 = 0,015\,\mathrm{m}^3 \] Isolons \(X \times 10^{-3}\) : \[ X \times 10^{-3} = 0,021 - 0,015 = 0,006\,\mathrm{m}^3 \] D’où : \[ X = \frac{0,006}{10^{-3}} = 6 \]
Conclusion pour le problème 1 :
L’espace vide se complète par : \[ 6\,\mathrm{dm}^3 \]
Nous avons l’équation : \[ \ldots\,\mathrm{m}^3 + 7000\,\mathrm{cm}^3 = 10\,\mathrm{dm}^3 \]
Étape 1 : Convertir 7000 cm³ en m³
Sachant que : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 10^6\,\mathrm{cm}^3, \] alors : \[ 7000\,\mathrm{cm}^3 = \frac{7000}{10^6} = 0,007\,\mathrm{m}^3 \]
Étape 2 : Convertir 10 dm³ en m³
On rappelle que : \[ 1\,\mathrm{dm}^3 = 10^{-3}\,\mathrm{m}^3, \] donc : \[ 10\,\mathrm{dm}^3 = 10 \times 10^{-3} = 0,01\,\mathrm{m}^3 \]
Étape 3 : Poser l’équation et résoudre
Soit \(Y\) l’inconnue en \(\mathrm{m}^3\). L’équation se traduit en : \[ Y + 0,007\,\mathrm{m}^3 = 0,01\,\mathrm{m}^3 \] Isolons \(Y\) : \[ Y = 0,01 - 0,007 = 0,003\,\mathrm{m}^3 \]
Conclusion pour le problème 2 :
L’espace vide se complète par : \[ 0,003\,\mathrm{m}^3 \]
L’équation donnée est : \[ 0,0361\,\mathrm{dam}^3 + 0,00005\,\mathrm{hm}^3 = \ldots\,\mathrm{dm}^3 \]
Étape 1 : Convertir 0,0361 dam³ en dm³
Rappelons les relations : - \(1\,\mathrm{dam} = 10\,\mathrm{m}\) - \(1\,\mathrm{m} = 10\,\mathrm{dm}\) donc \(1\,\mathrm{dam} = 10 \times 10\,\mathrm{dm} = 100\,\mathrm{dm}\)
Ainsi : \[ 1\,\mathrm{dam}^3 = (100\,\mathrm{dm})^3 = 100^3\,\mathrm{dm}^3 = 1\,000\,000\,\mathrm{dm}^3 \] D’où : \[ 0,0361\,\mathrm{dam}^3 = 0,0361 \times 1\,000\,000 = 36100\,\mathrm{dm}^3 \]
Étape 2 : Convertir 0,00005 hm³ en dm³
De même, pour le hectomètre : - \(1\,\mathrm{hm} = 100\,\mathrm{m}\) - \(1\,\mathrm{m} = 10\,\mathrm{dm}\) donc \(1\,\mathrm{hm} = 100 \times 10\,\mathrm{dm} = 1000\,\mathrm{dm}\)
Ainsi : \[ 1\,\mathrm{hm}^3 = (1000\,\mathrm{dm})^3 = 1000^3\,\mathrm{dm}^3 = 1\,000\,000\,000\,\mathrm{dm}^3 \] Alors : \[ 0,00005\,\mathrm{hm}^3 = 0,00005 \times 1\,000\,000\,000 = 50000\,\mathrm{dm}^3 \]
Étape 3 : Calcul de la somme en dm³
Additionnons les deux résultats : \[ 36100\,\mathrm{dm}^3 + 50000\,\mathrm{dm}^3 = 86100\,\mathrm{dm}^3 \]
Conclusion pour le problème 3 :
L’espace vide se complète par : \[ 86100\,\mathrm{dm}^3 \]
L’équation donnée est : \[ 0,0085\,\mathrm{m}^3 + 4700000\,\mathrm{mm}^3 = \ldots\,\mathrm{cm}^3 \]
Étape 1 : Convertir 0,0085 m³ en cm³
On sait que : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = (100\,\mathrm{cm})^3 = 1\,000\,000\,\mathrm{cm}^3, \] donc : \[ 0,0085\,\mathrm{m}^3 = 0,0085 \times 1\,000\,000 = 8500\,\mathrm{cm}^3. \]
Étape 2 : Convertir 4700000 mm³ en cm³
On rappelle que : \[ 1\,\mathrm{cm} = 10\,\mathrm{mm} \quad \Rightarrow \quad 1\,\mathrm{cm}^3 = 10^3\,\mathrm{mm}^3 = 1000\,\mathrm{mm}^3. \] Ainsi : \[ 4700000\,\mathrm{mm}^3 = \frac{4700000}{1000} = 4700\,\mathrm{cm}^3. \]
Étape 3 : Calcul de la somme en cm³
Additionnons les deux valeurs : \[ 8500\,\mathrm{cm}^3 + 4700\,\mathrm{cm}^3 = 13200\,\mathrm{cm}^3. \]
Conclusion pour le problème 4 :
L’espace vide se complète par : \[ 13200\,\mathrm{cm}^3 \]
Chaque conversion a été effectuée avec soin pour garantir la cohérence des unités et la précision des résultats.