Un bijoutier souhaite recouvrir une surface de \(17\,\mathrm{dm}^2\) d’une couche d’or d’une épaisseur de \(0,1\,\mathrm{mm}\). Calculer le volume d’or nécessaire.
Le volume d’or nécessaire est de 0,017 dm³ (soit 1,7×10⁻⁵ m³).
Nous devons déterminer le volume d’or nécessaire pour recouvrir une surface de \(17\,\mathrm{dm}^2\) d’une couche d’épaisseur \(0,1\,\mathrm{mm}\). Pour ce faire, nous utiliserons la formule du volume d’un parallélépipède droit (dans ce cas, la couche d’or) :
\[ V = S \times h \]
où
\(S\) est la surface à recouvrir,
\(h\) est l’épaisseur de la couche.
Nous allons suivre les étapes suivantes :
L’épaisseur est donnée en millimètres et nous souhaitons l’exprimer
dans la même unité que la surface (en décimètres, ici).
On sait que : \[
1\,\mathrm{dm} = 100\,\mathrm{mm}
\] donc : \[
1\,\mathrm{mm} = \frac{1}{100}\,\mathrm{dm} = 0,01\,\mathrm{dm}
\]
L’épaisseur de la couche est de \(0,1\,\mathrm{mm}\) donc : \[ 0,1\,\mathrm{mm} = 0,1 \times 0,01\,\mathrm{dm} = 0,001\,\mathrm{dm} \]
La surface est déjà donnée en décimètres carrés : \[ S = 17\,\mathrm{dm}^2 \]
En utilisant la formule du volume : \[ V = S \times h = 17\,\mathrm{dm}^2 \times 0,001\,\mathrm{dm} \]
Nous avons donc : \[ V = 0,017\,\mathrm{dm}^3 \]
Le volume d’or nécessaire est de \(0,017\,\mathrm{dm}^3\).
Pour information, on sait que : \[
1\,\mathrm{dm}^3 = 1\,\mathrm{L}
\] donc cela correspond également à \(0,017\,\mathrm{L}\).
Nous pouvons également convertir en mètres pour vérifier notre résultat.
Surface :
\(1\,\mathrm{dm}^2 =
0,01\,\mathrm{m}^2\)
donc \(S = 17\,\mathrm{dm}^2 = 17 \times
0,01\,\mathrm{m}^2 = 0,17\,\mathrm{m}^2\).
Épaisseur :
\(0,1\,\mathrm{mm} = 0,1 \times
10^{-3}\,\mathrm{m} = 10^{-4}\,\mathrm{m}\).
Volume :
\[
V = 0,17\,\mathrm{m}^2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m} = 1,7 \times
10^{-5}\,\mathrm{m}^3
\]
Pour obtenir le volume en décimètres cubes, sachant que \(1\,\mathrm{m}^3 = 1000\,\mathrm{dm}^3\), nous avons : \[ 1,7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^3 = 1,7 \times 10^{-5} \times 1000\,\mathrm{dm}^3 = 0,017\,\mathrm{dm}^3 \]
Ce qui confirme notre précédent calcul.
Le volume d’or nécessaire pour recouvrir une surface de \(17\,\mathrm{dm}^2\) avec une couche d’épaisseur \(0,1\,\mathrm{mm}\) est :
\[ \boxed{0,017\,\mathrm{dm}^3 \quad \text{ou} \quad 1,7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^3} \]