Exercice 57

Exercice

Les deux voies de l’autoroute Genève-Lausanne, sur le territoire genevois, ont chacune une largeur de \(12,5\, \mathrm{m}\). On considère un tronçon d’une longueur de \(16\, \mathrm{km}\) recouvert d’un tapis de bitume d’une épaisseur de \(4\, \mathrm{cm}\).

1. Calculer le volume de bitume nécessaire pour recouvrir ce tronçon.
2. Parmi les unités \(\mathrm{km}^{3}\), \(\mathrm{m}^{3}\) et \(\mathrm{cm}^{3}\), quelle est la plus appropriée pour exprimer ce volume ?
3. Quelle est l’unité de longueur associée à cette unité de volume ?

Réponse

Réponse courte : Le volume de bitume nécessaire est de 16 000 m³. L’unité la plus adaptée est le m³ et l’unité de longueur associée est le m.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice en trois étapes.

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1. Calcul du volume de bitume nécessaire

Données :
- Largeur d’une voie : \(12{,}5\,\mathrm{m}\)
- Nombre de voies : 2
- Longueur du tronçon : \(16\,\mathrm{km}\)
- Épaisseur du bitume : \(4\,\mathrm{cm}\)

Étape 1 : Conversion des unités

• La longueur :
  \[ 16\,\mathrm{km} = 16\,000\,\mathrm{m} \]
• L’épaisseur :
  \[ 4\,\mathrm{cm} = 0{,}04\,\mathrm{m} \]

Étape 2 : Calcul de la surface à couvrir

La surface totale est le produit de la largeur totale et de la longueur. La largeur totale correspond à la somme des largeurs des deux voies :

\[ \text{Largeur totale} = 2 \times 12{,}5\,\mathrm{m} = 25\,\mathrm{m} \]

Ainsi, la surface (en m²) est :

\[ \text{Surface} = \text{Largeur totale} \times \text{Longueur} = 25\,\mathrm{m} \times 16\,000\,\mathrm{m} = 400\,000\,\mathrm{m}^2 \]

Étape 3 : Calcul du volume

Le volume \(V\) de bitume est donné par :

\[ V = \text{Surface} \times \text{Épaisseur} = 400\,000\,\mathrm{m}^2 \times 0{,}04\,\mathrm{m} = 16\,000\,\mathrm{m}^3 \]

Conclusion :
Le volume de bitume nécessaire pour recouvrir le tronçon est de
\[ \boxed{16\,000\,\mathrm{m}^3}. \]

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2. Choix de l’unité de volume la plus appropriée

Les unités proposées sont :
- \(\mathrm{km}^3\)
- \(\mathrm{m}^3\)
- \(\mathrm{cm}^3\)

Étant donné que le volume calculé est de \(16\,000\,\mathrm{m}^3\), l’unité la plus adaptée pour exprimer ce volume est le \(\mathrm{m}^3\) car elle permet d’éviter des nombres trop grands ou trop petits.

Conclusion :
L’unité la plus appropriée est le
\[ \boxed{\mathrm{m}^3}. \]

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3. Unité de longueur associée à l’unité de volume choisie

Lorsque l’on exprime un volume en \(\mathrm{m}^3\), cela signifie que ce volume est associé à une métrique où la longueur se mesure en mètres.

Par exemple, un cube de \(1\,\mathrm{m} \times 1\,\mathrm{m} \times 1\,\mathrm{m}\) a un volume de \(1\,\mathrm{m}^3\).

Conclusion :
L’unité de longueur associée est le
\[ \boxed{\mathrm{m}}. \]

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Récapitulatif

1. Le volume de bitume nécessaire est de \(16\,000\,\mathrm{m}^3\).
2. L’unité de volume la plus appropriée est le \(\mathrm{m}^3\).
3. L’unité de longueur qui correspond est le \(\mathrm{m}\).