Une souris peut passer d’une case à une autre si et seulement si : - Les deux cases sont adjacentes (elles se touchent par un côté ou par un sommet). - L’aire de la case d’arrivée est le double de celle de la case de départ.
On vous propose le tableau suivant :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 0,006\,\mathrm{dm}^2 & 3\,\mathrm{cm}^2 & 0,6\,\mathrm{dm}^2 & 6\,\mathrm{cm}^2 & 30\,\mathrm{cm}^2 & 0,06\,\mathrm{dm}^2 & 3\,\mathrm{dm}^2 \\ \hline 120\,\mathrm{mm}^2 & 60\,\mathrm{mm}^2 & 600\,\mathrm{mm}^2 & 0,6\,\mathrm{dm}^2 & 24\,\mathrm{dm}^2 & 0,12\,\mathrm{m}^2 & 600\,\mathrm{cm}^2 \\ \hline 0,012\,\mathrm{dm}^2 & 2,4\,\mathrm{cm}^2 & 120\,\mathrm{cm}^2 & 0,12\,\mathrm{dm}^2 & 4800\,\mathrm{cm}^2 & 2,4\,\mathrm{dm}^2 & 480\,\mathrm{cm}^2 \\ \hline 240\,\mathrm{mm}^2 & 0,024\,\mathrm{m}^2 & 0,24\,\mathrm{m}^2 & 0,0024\,\mathrm{m}^2 & 00,96\,\mathrm{m}^2 & 0,048\,\mathrm{m}^2 & 9,6\,\mathrm{dm}^2 \\ \hline 4,8\,\mathrm{dm}^2 & 1,92\,\mathrm{dm}^2 & 0,96\,\mathrm{dm}^2 & 48\,\mathrm{cm}^2 & 192\,\mathrm{dm}^2 & 38,4\,\mathrm{cm}^2 & 1920\,\mathrm{cm}^2 \\ \hline 0,0384\,\mathrm{m}^2 & 960\,\mathrm{cm}^2 & 19,2\,\mathrm{dm}^2 & 0,384\,\mathrm{m}^2 & 76,8\,\mathrm{dm}^2 & 3,84\,\mathrm{m}^2 & 7,68\,\mathrm{dm}^2 \\ \hline 768\,\mathrm{cm}^2 & 0,768\,\mathrm{m}^2 & 0,0384\,\mathrm{m}^2 & 768\,\mathrm{m}^2 & 768\,\mathrm{dm}^2 & 15360\,\mathrm{cm}^2 & 3,072\,\mathrm{m}^2 \\ \hline \end{array} \]
Déterminez quelle souris aura accès au fromage en respectant ces règles.
La souris qui se trouve sur la case de 30 cm² (première rangée, cinquième colonne) pourra atteindre le fromage en suivant la chaîne de cases où l’aire double à chaque déplacement.
Nous allons montrer qu’en appliquant les règles (deux cases doivent être voisines – c’est‐à‐dire se toucher par un côté ou par un sommet – et l’aire de la case d’arrivée doit être exactement le double de celle de la case de départ, en tenant compte d’une conversion des unités) une seule chaîne de cases permet d’aller jusqu’à la case « fromage ». En conclusion, c’est la souris qui se trouve sur la case de 30 cm² (première rangée, cinquième colonne) qui pourra, grâce à une suite de déplacements autorisés, atteindre le fromage.
Nous allons détailler la démarche.
Les aires sont données en unités différentes (mm², cm², dm², m²). Pour comparer les nombres, on se place dans une unité unique, par exemple le cm². Rappel rapide des conversions utiles :
Par exemple, la case indiquée « \(0,06\,\mathrm{dm}^2\) » a pour aire \[ 0,06\times 100 = 6\,\mathrm{cm}^2. \] On procède ainsi pour obtenir les aires exprimées en cm² (nous ne détaillons pas toutes les conversions ici car elles ont été faites en amont).
La souris ne peut se déplacer que si la case d’arrivée a pour aire le double de celle de départ (les deux aires devront être comparées dans la même unité). Par exemple, si une souris est sur une case de \(30\,\mathrm{cm}^2\), elle peut aller uniquement sur une case de \(2\times30=60\,\mathrm{cm}^2\) à condition que cette case soit adjacente.
L’énoncé nous demande : « Déterminez quelle souris aura accès au fromage ». Dans ce type de problème, on imagine qu’une souris se trouve sur chacune des cases du tableau et qu’un seul chemin possible (qui respecte le doublement de l’aire à chaque coup et la proximité) permet d’atteindre la case où se trouve le fromage. L’idée est donc de “remonter” (ou “descendre”) une chaîne d’aires qui se doublent à chaque déplacement.
Une des chaînes possibles est la suivante. On part de la case dont l’aire est \(30\,\mathrm{cm}^2\) (la case en première rangée, cinquième colonne). Le chemin sera :
Départ
\(\displaystyle
30\,\mathrm{cm}^2\).
Premier déplacement :
La case d’arrivée doit avoir \(\displaystyle
2\times30=60\,\mathrm{cm}^2\).
On constate qu’une case voisine (parmi celles voisines de la case de
\(30\,\mathrm{cm}^2\)) possède bien
\(60\,\mathrm{cm}^2\) — par exemple la
case en deuxième rangée, quatrième colonne.
Deuxième déplacement :
De \(60\,\mathrm{cm}^2\), il faut aller
sur une case de \(2\times
60=120\,\mathrm{cm}^2\).
Une case voisine (parmi celles accessibles depuis la case de \(60\,\mathrm{cm}^2\)) possède \(120\,\mathrm{cm}^2\) (par exemple la case
en troisième rangée, troisième colonne).
Troisième déplacement :
De \(120\,\mathrm{cm}^2\) on cherche
une case de \(2\times120=240\,\mathrm{cm}^2\).
Une case voisine adaptée se trouve par exemple en quatrième rangée,
deuxième colonne.
Quatrième déplacement :
De \(240\,\mathrm{cm}^2\), il faut
atteindre \(480\,\mathrm{cm}^2\).
La case en cinquième rangée, première colonne (voisine de la précédente)
a pour aire \(480\,\mathrm{cm}^2\).
Cinquième déplacement :
De \(480\,\mathrm{cm}^2\) on cherche
\(480\times2=960\,\mathrm{cm}^2\).
Une case voisine (par exemple la case en sixième rangée, deuxième
colonne) possède \(960\,\mathrm{cm}^2\).
Sixième déplacement :
De \(960\,\mathrm{cm}^2\), on doit
atteindre \(1920\,\mathrm{cm}^2\).
Une case accessible, par exemple en sixième rangée, troisième colonne, a
\(1920\,\mathrm{cm}^2\).
Septième déplacement :
De \(1920\,\mathrm{cm}^2\), il faut une
case de \(3840\,\mathrm{cm}^2\).
La case en sixième rangée, quatrième colonne (voisine de la précédente)
possède \(3840\,\mathrm{cm}^2\).
Huitième déplacement :
De \(3840\,\mathrm{cm}^2\) le nombre
double est \(7680\,\mathrm{cm}^2\).
Une case voisine se trouve en sixième rangée, cinquième colonne, avec
\(7680\,\mathrm{cm}^2\).
Neuvième déplacement :
De \(7680\,\mathrm{cm}^2\) on passe à
\(15360\,\mathrm{cm}^2\).
Une case voisine (par exemple en septième rangée, sixième colonne) offre
\(15360\,\mathrm{cm}^2\).
Dixième déplacement (arrivée – fromage) :
De \(15360\,\mathrm{cm}^2\), on obtient
\(2\times15360=30720\,\mathrm{cm}^2\).
La case voisine (en septième rangée, septième colonne) possède \(30720\,\mathrm{cm}^2\).
On admet que cette case est celle où se trouve le fromage.
Il faut aussi vérifier que les cases choisies sont bien voisines (elles se touchent par un côté ou un sommet). En passant de la case de \(30\,\mathrm{cm}^2\) (par exemple \((1,5)\)) à la case de \(60\,\mathrm{cm}^2\) (par exemple \((2,4)\)), puis successivement de case en case, on peut bien trouver un enchaînement dans lequel chaque nouvelle case est adjacente à la précédente.
La chaîne complète est :
\[ 30 \,\rightarrow\, 60 \,\rightarrow\, 120 \,\rightarrow\, 240 \,\rightarrow\, 480 \,\rightarrow\, 960 \,\rightarrow\, 1920 \,\rightarrow\, 3840 \,\rightarrow\, 7680 \,\rightarrow\, 15360 \,\rightarrow\, 30720 \quad (\text{en } \mathrm{cm}^2). \]
Le fromage se trouve sur la case de \(30720\,\mathrm{cm}^2\) (par exemple en septième rangée, septième colonne). La seule souris pouvant rejoindre cette case suit alors tout le chemin en partant de la case de \(30\,\mathrm{cm}^2\).
La souris qui se trouve initialement sur la case contenant 30 cm² (première rangée, cinquième colonne) pourra accéder au fromage en effectuant la suite de déplacements définie par le doublement de l’aire à chaque coup.
Cette solution illustre l’analyse par conversion des unités, la recherche d’une suite arithmétique (ici géométrique par multiplication par 2) et le contrôle de l’adjacence des cases.