Exercice 47

Transformations d’unités

  1. Pour chacune des valeurs suivantes, effectuez la transformation d’unité indiquée :
  1. Effectuez les transformations suivantes :
  1. Réalisez les conversions d’unités suivantes :
  1. Pour les exercices suivants, effectuez les transformations demandées :

A. Convertissez chacune des quantités ci-dessous dans l’unité indiquée : - \(47\,\mathrm{dm}^2\)    → en \(\mathrm{dm}^2\) - \(3450\,\mathrm{mm}^2\)  → en \(m^2\) - \(400000\,\mathrm{mm}^2\) → en \(\mathrm{mm}^2\) - \(13\,m^2\)       → en \(\mathrm{cm}^2\) - \(25\,hm^2\)      → en \(\mathrm{cm}^2\) - \(12\,cm^2\)      → en \(\mathrm{mm}^2\) - \(0,7\,\mathrm{dm}^2\)  → en \(m^2\) - \(3,5\,m^2\)      → en \(\mathrm{cm}^2\)

B. Convertissez : - \(7,2\,\mathrm{dm}^2\) - \(0,8\,\mathrm{dam}^2\) - \(0,85\,m^2\)

dans les unités respectives : - en \(\mathrm{cm}^2\) - en \(\mathrm{dm}^2\) - en \(m^2\) - (et en \(m^2\) si nécessaire)

C. Convertissez : - \(36000\,\mathrm{mm}^2\) - \(74000\,\mathrm{mm}^2\) - \(48000\,cm^2\)

dans les unités indiquées : - en \(\mathrm{cm}^2\) - en \(\mathrm{dm}^2\) - en \(m^2\) - en \(m^2\)

D. Convertissez : - \(107\,\mathrm{dm}^2\) - \(8\,hm^2\) - \(6800\,dam^2\)

dans les unités respectives : - en \(km^2\) - en \(km^2\) - en \(m^2\) - en \(km^2\)

Réponse

Réponses synthétiques :

  1. En m² :  • 3 dam² = 300 m²
     • 7 dm² = 0,07 m²
     • 2 km² = 2 000 000 m²
     • 4,5 dam² = 450 m²

  2. Autres conversions :  • 8 dam² = 800 dm²
     • 12 dm² = 0,12 m²
     • 15 km² = 15 000 000 m²
     • 0,7 km² = 7×10¹¹ mm²

  3. Conversions inverses :  • 4700 m² = 47 dam²
     • 150 000 cm² = 15 m²
     • 37 000 dam² = 3,7 km²
     • 1070 dm² = 10,7 m²

  4. Autres exercices (exemples) :  • 13 m² = 130 000 cm²
     • 25 hm² = 2,5×10⁹ cm²
     • 12 cm² = 1200 mm²
     • 107 dm² = 1,07 m² = 1,07×10⁻⁶ km²
     • 8 hm² = 80 000 m² = 0,08 km²
     • 6800 dam² = 680 000 m² = 0,68 km²

Chaque conversion s’effectue en appliquant le carré du facteur de conversion entre les unités linéaires.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète pas à pas pour chacune des parties de l’exercice. Nous rappellerons d’abord quelques rappels utiles pour convertir des aires.

Rappel – Conversion d’unités d’aire :
Pour passer d’une unité de longueur à une autre, on applique un facteur de conversion.
Pour les aires, le facteur s’élève au carré. Par exemple,
• 1 décamètre (dam) = 10 m → 1 dam² = 10² = 100 m²
• 1 kilomètre (km) = 1000 m → 1 km² = 1000² = 1 000 000 m²
• 1 décimètre (dm) = 0,1 m → 1 dm² = (0,1)² = 0,01 m²
• 1 centimètre (cm) = 0,01 m → 1 cm² = (0,01)² = 0,0001 m² = 1/10 000 m²
• 1 millimètre (mm) = 0,001 m → 1 mm² = (0,001)² = 0,000001 m² = 1/1 000 000 m²

Nous utiliserons ces facteurs pour effectuer toutes les conversions.

1) Transformations d’unités

On doit transformer chacune des valeurs indiquées. Ici, nous allons convertir en mètres carrés (\(m^2\)).

  1. \(3\,\mathrm{dam}^2\)
    Puisque \(1\,\mathrm{dam}^2 = 100\,m^2\),
    \[ 3\,\mathrm{dam}^2 = 3 \times 100\,m^2 = 300\,m^2. \]

  2. \(7\,\mathrm{dm}^2\)
    Comme \(1\,\mathrm{dm}^2 = 0,01\,m^2\),
    \[ 7\,\mathrm{dm}^2 = 7 \times 0,01\,m^2 = 0,07\,m^2. \]

  3. \(2\,\mathrm{km}^2\)
    Sachant que \(1\,\mathrm{km}^2 = 1\,000\,000\,m^2\),
    \[ 2\,\mathrm{km}^2 = 2 \times 1\,000\,000\,m^2 = 2\,000\,000\,m^2. \]

  4. \(4,5\,\mathrm{dam}^2\)
    De même,
    \[ 4,5\,\mathrm{dam}^2 = 4,5 \times 100\,m^2 = 450\,m^2. \]

2) Transformations d’unités

Ici, on convertit chaque quantité dans l’unité demandée.

  1. \(8\,\mathrm{dam}^2\) en \(\mathrm{dm}^2\)
    On sait que 1 dam = 10 dm, donc pour les aires :
    \[ 1\,\mathrm{dam}^2 = 10^2\,\mathrm{dm}^2 = 100\,\mathrm{dm}^2. \] Ainsi,
    \[ 8\,\mathrm{dam}^2 = 8 \times 100\,\mathrm{dm}^2 = 800\,\mathrm{dm}^2. \]

  2. \(12\,\mathrm{dm}^2\) en \(m^2\)
    Puisque \(1\,\mathrm{dm}^2 = 0,01\,m^2\),
    \[ 12\,\mathrm{dm}^2 = 12 \times 0,01\,m^2 = 0,12\,m^2. \]

  3. \(15\,\mathrm{km}^2\) en \(m^2\)
    Avec \(1\,\mathrm{km}^2 = 1\,000\,000\,m^2\),
    \[ 15\,\mathrm{km}^2 = 15 \times 1\,000\,000\,m^2 = 15\,000\,000\,m^2. \]

  4. \(0,7\,\mathrm{km}^2\) en \(\mathrm{mm}^2\)
    D’abord, \(1\,\mathrm{km} = 1000\,m\) et \(1\,m = 1000\,mm\) donc
    \[ 1\,\mathrm{km} = 1\,000\,000\,mm \quad\text{et}\quad 1\,\mathrm{km}^2 = (1\,000\,000)^2\,\mathrm{mm}^2 = 10^{12}\,\mathrm{mm}^2. \] Ainsi,
    \[ 0,7\,\mathrm{km}^2 = 0,7 \times 10^{12}\,\mathrm{mm}^2 = 7 \times 10^{11}\,\mathrm{mm}^2. \]

3) Conversions d’unités

Nous allons convertir d’une unité à une autre en suivant les facteurs précédents.

  1. \(4700\,m^2\) en \(\mathrm{dam}^2\)
    Comme \(1\,\mathrm{dam}^2 = 100\,m^2\),
    \[ 4700\,m^2 = \frac{4700}{100}\,\mathrm{dam}^2 = 47\,\mathrm{dam}^2. \]

  2. \(150000\,cm^2\) en \(m^2\)
    Sachant que \(1\,m^2 = 10\,000\,cm^2\),
    \[ 150000\,cm^2 = \frac{150000}{10000}\,m^2 = 15\,m^2. \]

  3. \(37000\,\mathrm{dam}^2\) en \(km^2\)
    D’abord, convertissons en \(m^2\) :
    \[ 37000\,\mathrm{dam}^2 = 37000 \times 100\,m^2 = 3\,700\,000\,m^2. \] Puis, comme \(1\,km^2 = 1\,000\,000\,m^2\),
    \[ 3\,700\,000\,m^2 = \frac{3\,700\,000}{1\,000\,000}\,km^2 = 3,7\,km^2. \]

  4. \(1070\,\mathrm{dm}^2\) en \(m^2\)
    Puisque \(1\,\mathrm{dm}^2 = 0,01\,m^2\),
    \[ 1070\,\mathrm{dm}^2 = 1070 \times 0,01\,m^2 = 10,7\,m^2. \]

4) Exercices complémentaires sur les transformations demandées

A. Conversion dans l’unité indiquée

  1. \(47\,\mathrm{dm}^2\) → en \(\mathrm{dm}^2\)
    Aucune conversion à faire, la quantité reste
    \[ 47\,\mathrm{dm}^2. \]

  2. \(3450\,\mathrm{mm}^2\) → en \(m^2\)
    On rappelle que \(1\,m^2 = 1\,000\,000\,mm^2\). Ainsi,
    \[ 3450\,\mathrm{mm}^2 = \frac{3450}{1\,000\,000}\,m^2 = 0,00345\,m^2. \]

  3. \(400000\,\mathrm{mm}^2\) → en \(\mathrm{mm}^2\)
    La valeur est déjà en \(\mathrm{mm}^2\) :
    \[ 400000\,\mathrm{mm}^2. \]

  4. \(13\,m^2\) → en \(\mathrm{cm}^2\)
    Sachant que \(1\,m^2 = 10\,000\,cm^2\),
    \[ 13\,m^2 = 13 \times 10\,000\,cm^2 = 130\,000\,cm^2. \]

  5. \(25\,hm^2\) → en \(\mathrm{cm}^2\)
    Puisque \(1\,hm = 100\,m\) donc \(1\,hm^2 = 100^2 = 10\,000\,m^2\). Or,
    \[ 1\,m^2 = 10\,000\,cm^2 \quad\Rightarrow\quad 1\,hm^2 = 10\,000 \times 10\,000\,cm^2 = 100\,000\,000\,cm^2. \] Ainsi,
    \[ 25\,hm^2 = 25 \times 100\,000\,000\,cm^2 = 2\,500\,000\,000\,cm^2. \]

  6. \(12\,cm^2\) → en \(\mathrm{mm}^2\)
    Comme \(1\,cm = 10\,mm\) donc \(1\,cm^2 = 10^2 = 100\,mm^2\),
    \[ 12\,cm^2 = 12 \times 100\,mm^2 = 1200\,mm^2. \]

  7. \(0,7\,\mathrm{dm}^2\) → en \(m^2\)
    Avec \(1\,\mathrm{dm}^2 = 0,01\,m^2\),
    \[ 0,7\,\mathrm{dm}^2 = 0,7 \times 0,01\,m^2 = 0,007\,m^2. \]

  8. \(3,5\,m^2\) → en \(\mathrm{cm}^2\)
    En utilisant \(1\,m^2 = 10\,000\,cm^2\),
    \[ 3,5\,m^2 = 3,5 \times 10\,000\,cm^2 = 35\,000\,cm^2. \]

B. Conversions avec unités respectives

Pour chacune des quantités, nous appliquons la conversion correspondant à l’unité demandée.

  1. \(7,2\,\mathrm{dm}^2\) → en \(\mathrm{cm}^2\)
    Or \(1\,\mathrm{dm}^2 = 100\,cm^2\), donc
    \[ 7,2\,\mathrm{dm}^2 = 7,2 \times 100\,cm^2 = 720\,cm^2. \]

  2. \(0,8\,\mathrm{dam}^2\) → en \(\mathrm{dm}^2\)
    Puisque \(1\,\mathrm{dam}^2 = 100\,dm^2\),
    \[ 0,8\,\mathrm{dam}^2 = 0,8 \times 100\,dm^2 = 80\,dm^2. \]

  3. \(0,85\,m^2\) → en \(m^2\)
    La quantité est déjà en \(m^2\) :
    \[ 0,85\,m^2. \]

(Si une transformation supplémentaire en \(m^2\) était demandée, la valeur reste inchangée.)

C. Conversions avec plusieurs unités cibles

Nous réalisons les conversions demandées pour chacune des quantités.

  1. \(36000\,\mathrm{mm}^2\) → en \(\mathrm{cm}^2\)
    Sachant que \(1\,cm^2 = 100\,mm^2\),
    \[ 36000\,\mathrm{mm}^2 = \frac{36000}{100}\,cm^2 = 360\,cm^2. \]

  2. \(74000\,\mathrm{mm}^2\) → en \(\mathrm{dm}^2\)
    Ici, \(1\,dm^2 = 10\,000\,mm^2\), donc
    \[ 74000\,\mathrm{mm}^2 = \frac{74000}{10000}\,dm^2 = 7,4\,dm^2. \]

  3. \(48000\,cm^2\) → en \(m^2\)
    Avec \(1\,m^2 = 10\,000\,cm^2\),
    \[ 48000\,cm^2 = \frac{48000}{10000}\,m^2 = 4,8\,m^2. \]

(La liste indique quatre cibles – ici nous avons traité trois quantités correspondant aux unités indiquées.)

D. Conversions supplémentaires

Les quantités sont à convertir dans les unités indiquées. On notera que pour la dernière quantité, deux conversions sont demandées (en \(m^2\) et ensuite en \(km^2\)).

  1. \(107\,\mathrm{dm}^2\) en \(km^2\)
    D’abord, convertissons en \(m^2\) :
    \[ 107\,\mathrm{dm}^2 = 107 \times 0,01\,m^2 = 1,07\,m^2. \] Ensuite, \(1\,m^2 = 10^{-6}\,km^2\) (car \(1\,km^2 = 1\,000\,000\,m^2\)), donc
    \[ 1,07\,m^2 = 1,07 \times 10^{-6}\,km^2. \]

  2. \(8\,hm^2\) en \(km^2\)
    Rappel : \(1\,hm = 100\,m\) donc \(1\,hm^2 = 100^2 = 10\,000\,m^2\).
    On convertit en \(km^2\) sachant que \(1\,km^2 = 1\,000\,000\,m^2\).
    \[ 8\,hm^2 = 8 \times 10\,000\,m^2 = 80\,000\,m^2. \] Ainsi,
    \[ 80\,000\,m^2 = \frac{80\,000}{1\,000\,000}\,km^2 = 0,08\,km^2. \]

  3. \(6800\,\mathrm{dam}^2\)
    Nous devons réaliser deux conversions :

    1. En \(m^2\) :
      Puisque \(1\,\mathrm{dam}^2 = 100\,m^2\),
      \[ 6800\,\mathrm{dam}^2 = 6800 \times 100\,m^2 = 680\,000\,m^2. \]

    2. En \(km^2\) :
      On part de la valeur en \(m^2\) et on utilise que \(1\,km^2 = 1\,000\,000\,m^2\) :
      \[ 680\,000\,m^2 = \frac{680\,000}{1\,000\,000}\,km^2 = 0,68\,km^2. \]

Conclusion

Nous avons procédé à chaque transformation en utilisant les facteurs de conversion appropriés. Voici un récapitulatif des réponses obtenues :

Chaque conversion a été obtenue en appliquant systématiquement le facteur de conversion au carré lorsque l’on passe des unités linéaires aux unités d’aire. Cette démarche vous permettra de réaliser sans difficulté toutes ces transformations.

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