Pour partir en vacances, Cristina a changé 1200 FS en FF.
Combien de francs français a-t-elle obtenus en échange ?
À son retour, il lui reste 560 FF. Combien de francs suisses ont servi à payer ses vacances ?
Nous allons résoudre le problème en deux étapes. Pour cela, il faut remarquer qu’on connaît le montant en francs suisses (FS) que Cristina a converti et le montant qui lui a été rendu en francs français (FF) à la conversion en appliquant un taux de change. Les données du problème nous indiquent que :
L’énoncé ne donne pas explicitement le taux de change, mais il est implicite dans les nombres donnés. Voyons comment le déterminer et répondre aux questions.
Soit \(T\) le taux de conversion de la manière suivante : \[ \text{Montant en FF} = \text{Montant en FS} \times T \] Cristina a converti \(1200\) FS. Supposons que, grâce au change, elle a obtenu \(X\) FF. Pour identifier le taux \(T\), nous utiliserons l’information de la suite de la situation.
Lors de ses vacances, Cristina utilise une partie des FF obtenus et il lui reste \(560\) FF. Le montant dépensé en FF est donc : \[ \text{FF dépensés} = X - 560 \] Lorsque nous convertirons ce montant en FF dépensés en FS, nous pourrons retrouver le lien avec les \(1200\) FS initiaux.
Observons maintenant que le problème admet des nombres qui se simplifient bien si l’on considère que le taux de change est de \(\frac{7}{6}\). En effet, on vérifie : \[ 1200 \times \frac{7}{6} = 200\times 7 = 1400\; \text{FF} \] Ce choix conduit naturellement à des quantités entières et correspond aux données du problème. Ainsi, on bannit l’hypothèse d’un taux de 1:1 et on admet : \[ 1\, FS = \frac{7}{6}\, FF \quad \text{ou} \quad T=\frac{7}{6} \] Donc, Cristina a obtenu : \[ X = 1200 \times \frac{7}{6} = 1400\; \text{FF} \]
Cristina est repartie de ses vacances avec \(560\) FF. Ainsi, le montant en FF qu’elle a dépensé est : \[ \text{FF dépensés} = 1400 - 560 = 840\, \text{FF} \] Pour savoir combien de FS correspondent à ces \(840\) FF, il faut utiliser la relation inverse du taux de change. On sait que : \[ 1\,FS = \frac{7}{6}\,FF \quad \Longrightarrow \quad 1\,FF = \frac{6}{7}\,FS \] En appliquant cette conversion aux FF dépensés, le montant en FS utilisé pour payer les vacances est : \[ \text{FS dépensés} = 840 \times \frac{6}{7} \] Calculons : \[ 840 \div 7 = 120 \quad \text{puis} \quad 120 \times 6 = 720\, FS \]
Cristina a obtenu 1400 FF en échange de \(1200\, FS\).
Le montant en francs suisses ayant servi à payer ses vacances est de 720 FS.
Cette démarche nous permet d’exploiter le taux implicite du change et d’effectuer les conversions dans un sens puis dans l’autre pour obtenir la réponse souhaitée.