Question : Exercice : Conversion de la masse de Jupiter
Soit la masse de Jupiter, approximativement \[ 1898000000000000000000000 \, \mathrm{kg}. \] Exprimez cette grandeur en notation scientifique : a) en kilogrammes ; b) en tonnes.
Voici une correction détaillée de cet exercice :
La masse de Jupiter est donnée par :
\[ 1898000000000000000000000 \, \mathrm{kg}. \]
On vous demande d’exprimer cette grandeur sous forme de notation scientifique :
en kilogrammes ;
en tonnes.
Le nombre donné est :
\[ 1898000000000000000000000. \]
Pour écrire ce nombre en notation scientifique, il faut placer la virgule après la première chiffre non nul pour obtenir un nombre compris entre 1 et 10. Ici, le nombre peut s’écrire sous la forme :
\[ 1.898 \ldots \]
On compte ensuite combien de positions la virgule a été déplacée.
Si l’on écrit le nombre sous la forme
\[ 1.898 \times 10^n, \]
il faut trouver la valeur de \(n\). Pour cela, nous devons compter le nombre total de chiffres à droite du chiffre 1 dans le nombre initial.
Le nombre écrit à l’origine est :
\[ 1898000000000000000000000. \]
On peut remarquer que ce nombre comporte 25 chiffres (puisque 1898 suivi de 21 zéros donnerait 4 + 21 = 25 chiffres). Pour obtenir le nombre \(1.898\), la virgule a été placée après le premier chiffre. Le déplacement consiste donc à “sauter” 24 positions. Ainsi, \(n = 24\).
On obtient donc :
\[ 1.898 \times 10^{24} \, \mathrm{kg}. \]
1 tonne équivaut à :
\[ 1 \, \text{tonne} = 1000 \, \mathrm{kg} = 10^3 \, \mathrm{kg}. \]
Pour convertir la masse de Jupiter en tonnes, il faut diviser sa masse exprimée en kilogrammes par \(10^3\) :
\[ \frac{1.898 \times 10^{24} \, \mathrm{kg}}{10^3}. \]
On utilise la propriété des puissances de 10 :
\[ \frac{10^{24}}{10^3} = 10^{24-3} = 10^{21}. \]
Donc, la conversion donne :
\[ 1.898 \times 10^{21} \, \text{tonnes}. \]
Les réponses finales sont :
\[ 1.898 \times 10^{24} \, \mathrm{kg}. \]
\[ 1.898 \times 10^{21} \, \text{tonnes}. \]
Cette démarche permet de comprendre comment convertir une très grande quantité en notation scientifique et de réaliser ensuite l’opération de conversion d’unités.