Exercice 19

Exercice

Effectuez les conversions d’unités suivantes :

1. La capacité d’un réservoir de \(12\,\mathrm{hl}\) en :
   • mètres cubes \(\left(\mathrm{m}^3\right)\)
   • litres \(\left(\mathrm{L}\right)\)
   • décilitres \(\left(\mathrm{dl}\right)\)
2. Le volume d’un étang rectangulaire de \(40\,\mathrm{m}\) sur \(15\,\mathrm{m}\) et de \(3\,\mathrm{m}\) de profondeur, exprimé en :
   • mètres cubes \(\left(\mathrm{m}^3\right)\)
   • hectolitres \(\left(\mathrm{hl}\right)\)
3. Le volume d’une boîte rectangulaire de \(0.5\,\mathrm{m}\) de long, \(0.3\,\mathrm{m}\) de large et \(0.2\,\mathrm{m}\) de haut, en :
   • décimètres cubes \(\left(\mathrm{dm}^3\right)\)
   • centimètres cubes \(\left(\mathrm{cm}^3\right)\)
   • millimètres cubes \(\left(\mathrm{mm}^3\right)\)
4. Le volume d’air contenu dans une salle de classe de \(60\,\mathrm{m}^2\) de surface et \(4\,\mathrm{m}\) de hauteur sous plafond, en :
   • mètres cubes \(\left(\mathrm{m}^3\right)\)
   • centimètres cubes \(\left(\mathrm{cm}^3\right)\)

Réponse

Voici le résumé très court de la correction :

1. Pour 12 hl : 1,2 m³, 1200 L et 12000 dl.
   
2. Pour l’étang 40 m × 15 m × 3 m : 1800 m³ et 18000 hl.
   
3. Pour la boîte 0,5 m × 0,3 m × 0,2 m : 0,03 m³, 30 dm³, 30000 cm³ et 30000000 mm³.
   
4. Pour la salle de 60 m² et 4 m de hauteur : 240 m³ et 240 000 000 cm³.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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Exercice : Conversions d’unités

1. Conversion d’un réservoir de \(12\,\mathrm{hl}\)

On part d’un réservoir de \(12\,\mathrm{hl}\) (hectolitres).

a) En mètres cubes \(\mathrm{m}^3\)

On sait que : \[ 1\,\mathrm{hl} = 100\,\mathrm{L} \] et \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 1000\,\mathrm{L}. \]

Donc, pour convertir des hectolitres en mètres cubes, on peut procéder de deux manières.

Méthode 1 : Conversion par les litres

1. Convertir \(12\,\mathrm{hl}\) en litres : \[ 12\,\mathrm{hl} = 12 \times 100 = 1200\,\mathrm{L}. \]
2. Convertir les litres en mètres cubes : \[ 1200\,\mathrm{L} = \frac{1200}{1000} = 1.2\,\mathrm{m}^3. \]

Méthode 2 : Facteur de conversion direct

On sait aussi que : \[ 1\,\mathrm{hl} = 0.1\,\mathrm{m}^3. \] Ainsi, \[ 12\,\mathrm{hl} = 12 \times 0.1 = 1.2\,\mathrm{m}^3. \]

b) En litres \(\mathrm{L}\)

On utilise la relation : \[ 1\,\mathrm{hl} = 100\,\mathrm{L}. \] Par conséquent, \[ 12\,\mathrm{hl} = 12 \times 100 = 1200\,\mathrm{L}. \]

c) En décilitres \(\mathrm{dl}\)

On sait que : \[ 1\,\mathrm{L} = 10\,\mathrm{dl}. \] Comme nous avons \(1200\,\mathrm{L}\), on obtient : \[ 1200\,\mathrm{L} = 1200 \times 10 = 12000\,\mathrm{dl}. \]

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2. Conversion du volume d’un étang rectangulaire

Les dimensions de l’étang sont : - Longueur : \(40\,\mathrm{m}\) - Largeur : \(15\,\mathrm{m}\) - Profondeur : \(3\,\mathrm{m}\)

a) En mètres cubes \(\mathrm{m}^3\)

Calculons d’abord le volume en utilisant la formule : \[ \text{Volume} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{profondeur}. \] Ici : \[ V = 40 \times 15 \times 3. \] - \(40 \times 15 = 600\) - Ensuite, \(600 \times 3 = 1800\).

Donc, \[ V = 1800\,\mathrm{m}^3. \]

b) En hectolitres \(\mathrm{hl}\)

On rappelle que : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 1000\,\mathrm{L} \quad \text{et} \quad 1\,\mathrm{hl} = 100\,\mathrm{L}. \] Une autre manière de voir cela est : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 10\,\mathrm{hl}. \] Ainsi, \[ 1800\,\mathrm{m}^3 = 1800 \times 10 = 18000\,\mathrm{hl}. \]

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3. Conversion du volume d’une boîte rectangulaire

Les dimensions de la boîte sont : - Longueur : \(0.5\,\mathrm{m}\) - Largeur : \(0.3\,\mathrm{m}\) - Hauteur : \(0.2\,\mathrm{m}\)

a) Calcul du volume en mètres cubes

Le volume se calcule par : \[ V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}. \] Ici : \[ V = 0.5 \times 0.3 \times 0.2. \] Calculons étape par étape : - \(0.5 \times 0.3 = 0.15\), - Puis \(0.15 \times 0.2 = 0.03\).

Donc, \[ V = 0.03\,\mathrm{m}^3. \]

b) En décimètres cubes \(\mathrm{dm}^3\)

On utilise la relation : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 1000\,\mathrm{dm}^3. \] Donc, \[ 0.03\,\mathrm{m}^3 = 0.03 \times 1000 = 30\,\mathrm{dm}^3. \]

c) En centimètres cubes \(\mathrm{cm}^3\)

On rappelle que : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 1\,000\,000\,\mathrm{cm}^3. \] Donc, \[ 0.03\,\mathrm{m}^3 = 0.03 \times 1\,000\,000 = 30000\,\mathrm{cm}^3. \]

d) En millimètres cubes \(\mathrm{mm}^3\)

On sait que : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 1\,000\,000\,000\,\mathrm{mm}^3. \] Alors, \[ 0.03\,\mathrm{m}^3 = 0.03 \times 1\,000\,000\,000 = 30000000\,\mathrm{mm}^3. \]

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4. Conversion du volume d’air dans une salle de classe

La salle a : - Une surface au sol de \(60\,\mathrm{m}^2\) - Une hauteur sous plafond de \(4\,\mathrm{m}\)

a) En mètres cubes \(\mathrm{m}^3\)

On calcule le volume en multipliant la surface par la hauteur : \[ V = \text{surface} \times \text{hauteur} = 60 \times 4 = 240\,\mathrm{m}^3. \]

b) En centimètres cubes \(\mathrm{cm}^3\)

On utilise la conversion : \[ 1\,\mathrm{m}^3 = 1\,000\,000\,\mathrm{cm}^3. \] Ainsi, \[ 240\,\mathrm{m}^3 = 240 \times 1\,000\,000 = 240\,000\,000\,\mathrm{cm}^3. \]

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Récapitulatif des réponses

1. Pour \(12\,\mathrm{hl}\) :
   • En \(\mathrm{m}^3\) : \(1.2\,\mathrm{m}^3\)
   • En \(\mathrm{L}\) : \(1200\,\mathrm{L}\)
   • En \(\mathrm{dl}\) : \(12000\,\mathrm{dl}\)
2. Pour l’étang (dimensions : \(40\,\mathrm{m} \times 15\,\mathrm{m} \times 3\,\mathrm{m}\)) :
   • En \(\mathrm{m}^3\) : \(1800\,\mathrm{m}^3\)
   • En \(\mathrm{hl}\) : \(18000\,\mathrm{hl}\)
3. Pour la boîte (dimensions : \(0.5\,\mathrm{m} \times 0.3\,\mathrm{m} \times 0.2\,\mathrm{m}\)) :
   • En \(\mathrm{dm}^3\) : \(30\,\mathrm{dm}^3\)
   • En \(\mathrm{cm}^3\) : \(30000\,\mathrm{cm}^3\)
   • En \(\mathrm{mm}^3\) : \(30000000\,\mathrm{mm}^3\)
4. Pour la salle de classe (surface \(60\,\mathrm{m}^2\) et hauteur \(4\,\mathrm{m}\)) :
   • En \(\mathrm{m}^3\) : \(240\,\mathrm{m}^3\)
   • En \(\mathrm{cm}^3\) : \(240\,000\,000\,\mathrm{cm}^3\)

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Ainsi, en suivant les étapes et en appliquant les relations de conversion, nous obtenons les résultats ci-dessus pour chaque conversion.