Exercice
Le 9 avril 1998, la Seine a connu une montée des eaux exceptionnelle, confirmée par divers médias. Plusieurs faits marquants ont été rapportés :
À partir de ces informations, répondre aux questions suivantes :
Combien de robinets de baignoire, ouverts au maximum, déverseraient approximativement le même débit d’eau par seconde ?
Quelles pourraient être les dimensions du rocher évoqué ?
Combien de mètres cubes d’eau se seraient écoulés en 1 heure sur le lac d’Annecy, dont la superficie est d’environ \(42\,000\) hectares ?
Si cette réserve de 27 millions de mètres cubes représente environ \(\frac{1}{16}\) de la contenance totale du barrage, combien de piscines olympiques cela représente-t-il ?
Combien de camions de 28 tonnes faudrait-il pour transporter la somme de 5,5 milliards d’euros si celle-ci était constituée uniquement de pièces de 5 euros (masse d’une pièce de 5 euros : 16,7 g) ?
Voici une solution détaillée pour chacune des questions proposées :
On nous indique que la Seine a atteint un débit exceptionnel de
\[
850\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s}\,.
\] Pour comparer ce débit à celui d’un « robinet de baignoire
ouvert au maximum », il faut fixer un débit typique pour ce robinet. On
pourra ici utiliser l’hypothèse suivante : un robinet de baignoire,
ouvert au maximum, délivre environ 12 L/min.
Conversion en unités cohérentes :
- 12 L/min se transforme en litres par seconde :
\[
12\,\mathrm{L/min} = \frac{12}{60}\,\mathrm{L/s} =
0,2\,\mathrm{L/s}\,.
\] - Comme 1 m³ = 1000 L, 850 m³/s correspond à
\[
850\,\mathrm{m}^3/\mathrm{s} = 850\,000\,\mathrm{L/s}\,.
\]
Calcul du nombre de robinets :
On divise le débit total par le débit d’un robinet : \[
\text{Nombre de robinets} =
\frac{850\,000\,\mathrm{L/s}}{0,2\,\mathrm{L/s}} = 4\,250\,000\,.
\]
Réponse a) : Environ 4,25 millions de robinets ouverts au maximum déverseraient, par seconde, un débit équivalent à celui de la Seine.
Le texte mentionne que « environ \(9\,200~\mathrm{m}^3\) de berges se sont effondrées ». On peut assimiler ce volume à celui d’un rocher et en déduire des dimensions approximatives.
Une approche simple consiste à considérer que le rocher a une forme
cubique. Dans ce cas, si le volume d’un cube est
\[
V = côté^3\,,
\] alors le côté du cube vaut \[
côté = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{9200}\,.
\] Sachant que
\[
20^3 = 8000 \quad \text{et} \quad 22^3 = 10648\,,
\] la valeur obtenue se situe autour de 21 m.
Réponse b) : On peut imaginer un rocher dont les dimensions sont de l’ordre de 20 à 22 mètres de côté (par exemple, un cube d’environ 21 m de côté).
On nous donne que la superficie du lac d’Annecy est d’environ \(42\,000\) hectares. Pour convertir en
mètres carrés, on rappelle que
\[
1\,\text{hectare} = 10\,000\,\mathrm{m}^2\,.
\] L’aire est ainsi : \[
42\,000\,\text{hectares} = 42\,000 \times 10\,000 =
420\,000\,000\,\mathrm{m}^2\,.
\]
Le problème fait référence aux précipitations évaluées entre 10 et 16 mm lors de l’événement. En considérant que ces précipitations tombent en 1 heure sur toute la surface du lac, on peut calculer le volume d’eau reçu.
On convertit d’abord la hauteur de précipitations en mètres : - Pour 10 mm : \(10\,\mathrm{mm} = 0,01\,\mathrm{m}\). - Pour 16 mm : \(16\,\mathrm{mm} = 0,016\,\mathrm{m}\).
Le volume d’eau correspondant est donné par le produit de l’aire et de la hauteur : - Pour 10 mm de pluie : \[ V_{10} = 420\,000\,000\,\mathrm{m}^2 \times 0,01\,\mathrm{m} = 4\,200\,000\,\mathrm{m}^3\,. \] - Pour 16 mm de pluie : \[ V_{16} = 420\,000\,000\,\mathrm{m}^2 \times 0,016\,\mathrm{m} = 6\,720\,000\,\mathrm{m}^3\,. \]
Réponse c) : En 1 heure, on peut estimer que le lac d’Annecy recevrait entre 4,2 millions et 6,72 millions de mètres cubes d’eau.
On nous indique qu’au barrage de Montfaucon, il existe une réserve d’environ 27 millions de mètres cubes, laquelle représente environ \(\frac{1}{16}\) de la contenance totale.
1) Calcul de la contenance totale du barrage :
\[
\text{Contenance totale} = 27\,000\,000\,\mathrm{m}^3 \times 16 =
432\,000\,000\,\mathrm{m}^3\,.
\]
2) Définir le volume d’une piscine olympique :
On considère généralement qu’une piscine olympique a un volume d’environ
\(2\,500\,\mathrm{m}^3\) (par exemple,
50 m de long, 25 m de large et 2 m de profondeur).
3) Nombre de piscines :
On divise la contenance totale par le volume d’une piscine : \[
\text{Nombre de piscines} =
\frac{432\,000\,000\,\mathrm{m}^3}{2\,500\,\mathrm{m}^3} = 172\,800\,.
\]
Réponse d) : La contenance totale du barrage correspond à environ 172 800 piscines olympiques.
On sait que les dégâts estimés s’élèvent à près de 5,5 milliards d’euros. Si cette somme était constituée uniquement de pièces de 5 euros, le nombre de pièces est :
\[ \text{Nombre de pièces} = \frac{5\,500\,000\,000\,€}{5\,€} = 1\,100\,000\,000\,\text{pièces}\,. \]
La masse d’une pièce de 5 euros est donnée comme étant \(16,7~\mathrm{g}\). Passons cette masse en kilogrammes : \[ 16,7\,\mathrm{g} = 0,0167\,\mathrm{kg}\,. \]
1) Calcul de la masse totale :
\[
\text{Masse totale} = 1\,100\,000\,000\,\text{pièces} \times
0,0167\,\mathrm{kg} \approx 18\,370\,000\,\mathrm{kg}\,.
\]
2) Conversion en tonnes :
Sachant que \(1\,\mathrm{tonne} =
1\,000\,\mathrm{kg}\), on a : \[
18\,370\,000\,\mathrm{kg} \approx 18\,370\,\mathrm{tonnes}\,.
\]
3) Nombre de camions nécessaires :
Si un camion peut transporter 28 tonnes, alors le nombre de camions
requis est : \[
\text{Nombre de camions} =
\frac{18\,370\,\mathrm{tonnes}}{28\,\mathrm{tonnes}} \approx 656,8\,.
\] Il faut arrondir au nombre entier supérieur, donc 657
camions.
Réponse e) : Il faudrait environ 657 camions pour transporter 5,5 milliards d’euros sous forme de pièces de 5 euros.
Chaque étape a été décomposée pour faciliter la compréhension. N’hésitez pas à revoir les conversions (unités, volumes) si besoin pour mieux assimiler ces calculs.