Exercice
Construisez le développement d’une pyramide dont la base est un carré de côté \(45\,\text{mm}\). Les faces latérales sont des triangles isocèles dont les deux côtés égaux mesurent \(4\,\text{cm}\).
Réponse : Le développement de la pyramide est constitué d’un carré de 4,5 cm de côté, avec quatre triangles isocèles ayant pour base 4,5 cm, pour côtés égaux 4 cm et pour hauteur (5√7)/4 cm.
Voici une correction détaillée en plusieurs étapes pour construire le développement de la pyramide :
On considère une pyramide dont la base est un carré de côté
\[
45\,\text{mm}
\] et dont les faces latérales sont des triangles isocèles dont
les deux côtés égaux mesurent
\[
4\,\text{cm}.
\]
Remarque sur les unités :
Le côté du carré est donné en millimètres. Pour harmoniser les unités,
on convertit 45 mm en centimètres : \[
45\,\text{mm} = 4.5\,\text{cm}.
\]
Ainsi, la base est un carré de côté \(4.5\,\text{cm}\) et chaque triangle a pour base \(4.5\,\text{cm}\) (puisqu’il s’attache à l’un des côtés du carré) et pour les deux côtés égaux \(4\,\text{cm}\).
Chaque face latérale de la pyramide est un triangle isocèle dont la base est le côté du carré (donc \(4.5\,\text{cm}\)) et les deux côtés égaux mesurent \(4\,\text{cm}\).
Pour tracer correctement ces triangles dans le développement, il est utile de connaître leur hauteur (c’est-à-dire la distance perpendiculaire entre la base du triangle et son sommet).
Calcul de la hauteur du triangle isocèle :
Soit \(ABC\) un triangle isocèle, où
\(BC\) est la base de longueur \(4.5\,\text{cm}\) et \(AB = AC = 4\,\text{cm}\).
On trace la hauteur issue du sommet \(A\) et qui tombe perpendiculairement sur
\(BC\) en son milieu, que nous noterons
\(M\).
La longueur de \(BM\) (ou \(MC\)) est : \[
BM = \frac{4.5}{2} = 2.25\,\text{cm}.
\]
Dans le triangle rectangle \(ABM\), on applique le théorème de Pythagore : \[ AB^2 = AM^2 + BM^2. \] On connaît \(AB = 4\,\text{cm}\) et \(BM = 2.25\,\text{cm}\), ainsi : \[ AM^2 = 4^2 - (2.25)^2 = 16 - 5.0625 = 10.9375. \] D’où la hauteur du triangle est : \[ AM = \sqrt{10.9375}\,\text{cm}. \] Pour exprimer ce résultat sous forme simplifiée, remarquons que : \[ 10.9375 = \frac{175}{16} \quad \text{(car } 175 \div 16 = 10.9375\text{)}. \] On obtient alors : \[ AM = \sqrt{\frac{175}{16}} = \frac{\sqrt{175}}{4}. \] Comme \(175 = 25 \times 7\), on peut écrire : \[ AM = \frac{5\sqrt{7}}{4}\,\text{cm}. \]
Conclusion : La hauteur de chaque triangle latéral est \[ h = \frac{5\sqrt{7}}{4}\,\text{cm}. \]
Le développement (ou “net”) d’une pyramide se construit en plaçant la base et en « dépliant » les faces latérales autour de celle-ci. Dans notre cas, la figure obtenue comprendra :
Procédure de construction :
Tracer le carré base :
Dessinez d’abord le carré de \(4.5\,\text{cm}\) de côté sur votre
feuille.
Attacher les triangles :
Pour chacune des quatre arêtes du carré :
Compléter les triangles :
Vérification :
Le développement de la pyramide est constitué d’un carré de côté \(4.5\,\text{cm}\) avec, sur chacun de ses côtés, un triangle isocèle de base \(4.5\,\text{cm}\) et de côtés égaux \(4\,\text{cm}\). La hauteur de chacun de ces triangles est donnée par : \[ h = \frac{5\sqrt{7}}{4}\,\text{cm}. \] Vous pouvez ainsi dessiner le développement en suivant les étapes ci-dessus, ce qui vous permettra de visualiser la pyramide aplatie avant son assemblage en trois dimensions.
Ceci constitue la correction détaillée de l’exercice.