Exercice 31

Exercice

Construisez le développement plan d’un tétraèdre régulier dont chaque arête mesure \(5\) cm.

Réponse

Le net du tétraèdre se compose d’un triangle central équilatéral de 5 cm de côté, auquel sont attachés trois autres triangles équilatéraux (également de 5 cm), chacun sur un côté du triangle central. En découpant et pliant ce développement, on obtient un tétraèdre régulier.

Corrigé détaillé

Nous allons construire le développement plan (ou “net”) d’un tétraèdre régulier dont chaque arête mesure \(5\) cm. Rappelons qu’un tétraèdre régulier est composé de 4 faces triangulaires équilatérales. L’idée est de représenter ces 4 triangles dans le plan de façon à pouvoir les replier pour former le solide.

Étape 1 : Comprendre la structure d’un tétraèdre régulier

Faces et arêtes
Le tétraèdre régulier a 4 faces. Chacune est un triangle équilatéral de côté \(5\) cm.
Chaque triangle a trois côtés et trois angles égaux (\(60^\circ\) chacun).
Net du tétraèdre
Il existe plusieurs manières de le représenter en développement plan. Une des constructions classiques consiste à « poser » un triangle au centre et d’attacher les trois autres triangles sur chacun de ses côtés. Lors du repliage, les triangles se rejoignent pour former le tétraèdre.

Étape 2 : Dessin du premier triangle (la pièce centrale)

Tracer un triangle équilatéral
- Utilisez une règle et un compas pour tracer un segment de \(5\) cm qui sera l’un des côtés du triangle.
- En utilisant ce segment comme base, tracez les deux autres côtés de \(5\) cm, en vous assurant que les trois angles internes font \(60^\circ\).
Étiqueter ce triangle
- Par exemple, appelez-le triangle \(ABC\) avec \(AB=BC=AC=5\) cm.

Étape 3 : Ajouter les trois autres triangles autour du triangle central

Nous allons attacher un triangle supplémentaire à chacun des côtés du triangle \(ABC\).

Triangle joint à côté \(AB\)
- À partir du côté \(AB\) de \(5\) cm, construisez un triangle équilatéral qui partage ce côté.
- Ce triangle aura pour côtés : \(AB\), \(5\) cm (commun avec le triangle \(ABC\)) et deux nouveaux côtés de \(5\) cm chacun.
- Appelons ce triangle \(ABD\).
Triangle joint à côté \(AC\)
- De même, utilisez le côté \(AC\) du triangle \(ABC\) pour construire un autre triangle équilatéral.
- Ce triangle partage le côté \(AC\) et les deux autres côtés mesurent \(5\) cm.
- On peut le nommer \(ACE\).
Triangle joint à côté \(BC\)
- Enfin, à partir du côté \(BC\) du triangle \(ABC\), construisez un troisième triangle équilatéral.
- Ce triangle a pour base \(BC\) et deux côtés de \(5\) cm.
- Nommez-le \(BCF\).

Il est important de noter que, dans le dessin du développement plan, les triangles \(ABD\), \(ACE\) et \(BCF\) seront disposés de manière à ne pas se chevaucher. Une configuration usuelle est celle-ci :

Le triangle \(ABC\) se trouve au centre.
Le triangle \(ABD\) est attaché le long du côté \(AB\) vers l’extérieur.
Le triangle \(ACE\) est attaché le long du côté \(AC\) vers l’extérieur.
Le triangle \(BCF\) est attaché le long du côté \(BC\) vers l’extérieur.

Ainsi, le développement plan présente un ensemble de 4 triangles équilatéraux dont chacun a des côtés de \(5\) cm.

Étape 4 : Vérification du développement plan et des mesures

Côté commun
Dans ce développement, lorsque vous plierez le dessin, les côtés communs (par exemple, le côté \(AB\) entre \(ABC\) et \(ABD\)) serviront d’arêtes du tétraèdre et auront bien la mesure \(5\) cm.
Assemblage
En repliant le développement, les trois triangles attachés au triangle central se rejoignent pour former les faces inclinées du tétraèdre.
Structure correcte
Vérifiez que chaque triangle est bien équilatéral et que les points d’articulation permettront de reconstituer le solide à 4 faces.

Conclusion

Le développement plan (ou “net”) du tétraèdre régulier se présente ainsi :

Un triangle central \(ABC\) de côté \(5\) cm.
Trois triangles équilatéraux \(ABD\), \(ACE\) et \(BCF\) attachés respectivement aux côtés \(AB\), \(AC\) et \(BC\) du triangle \(ABC\).

Ce schéma permettra de découper, plier et recoller le long des arêtes (de \(5\) cm chacune) pour obtenir un tétraèdre où toutes les faces sont des triangles équilatéraux de \(5\) cm de côté.

Ce procédé fournit une construction claire et détaillée permettant de réaliser le net d’un tétraèdre régulier.