Exercice :
Construisez le patron d’un prisme droit dont la base est un pentagone régulier. On vous donne : - Le diamètre du cercle circonscrit au pentagone est de \(6\,\text{cm}\) ; - La hauteur du prisme est de \(3\,\text{cm}\).
Réponse courte : Dessinez un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 3 cm, de sorte que chaque côté mesure 6 sin(36°) cm. Ensuite, construisez la surface latérale en traçant 5 rectangles de 3 cm de hauteur et de largeur 6 sin(36°) cm chacun (la somme des longueurs est 30 sin(36°) cm). Enfin, ajoutez un second pentagone identique pour obtenir l’ensemble du patron du prisme droit.
Voici ci-dessous une correction détaillée de l’exercice.
Construisez le patron (développement) d’un prisme droit dont la base est un pentagone régulier, sachant que :
Le patron d’un prisme droit se compose de deux bases identiques (dans
notre cas, deux pentagones réguliers) et de la surface latérale, qui se
développe en un “ruban” constitué de 5 rectangles.
Chaque rectangle a : - Une hauteur correspondant à celle du prisme, ici
\(3\,\text{cm}\) ; - Une largeur égale
à la longueur d’un côté du pentagone.
On vous indique que le cercle circonscrit au pentagone a un diamètre
de \(6\,\text{cm}\).
Le rayon \(R\) de ce cercle vaut donc :
\[
R=\frac{6}{2}=3\,\text{cm}.
\]
Pour un pentagone régulier, chaque côté correspond à la corde d’un
cercle d’angle central de \(\frac{360^\circ}{5}=72^\circ\).
La longueur \(s\) d’un côté est donnée
par la formule de la corde : \[
s=2R\sin\left(\frac{72^\circ}{2}\right)=2R\sin(36^\circ).
\] En remplaçant \(R=3\,\text{cm}\), on obtient : \[
s=2\times3\times\sin(36^\circ)=6\sin(36^\circ).
\] Cette expression représente la longueur exacte d’un côté. Pour
une valeur approchée (si nécessaire), on peut utiliser \(\sin(36^\circ)\approx0.5878\) : \[
s\approx 6\times0.5878\approx3.53\,\text{cm}.
\]
Tracez un cercle de centre \(O\) et de rayon \(3\,\text{cm}\).
À partir du centre, mesurez un angle de \(360^\circ\) divisé par 5, c’est-à-dire \(72^\circ\), afin de positionner les 5 points sur le cercle.
Reliez ces 5 points dans l’ordre pour obtenir le pentagone régulier.
La surface latérale d’un prisme droit se développe en un ruban
constitué d’un rectangle pour chaque côté de la base.
- On aura donc 5 rectangles. - Chaque rectangle aura une hauteur de
\(3\,\text{cm}\) (hauteur du prisme). -
La largeur de chaque rectangle est égale à la longueur d’un côté du
pentagone, soit \(s = 6\sin(36^\circ)\)
(environ \(3.53\,\text{cm}\)).
Procédé de construction du ruban latéral :
Sur une feuille, tracez un segment de longueur égale à la somme des longueurs des 5 côtés : \[ \text{Longueur du ruban} = 5s = 5\times 6\sin(36^\circ)=30\sin(36^\circ) \, \text{cm}. \]
À partir de ce segment, tracez une ligne parallèle à une distance de \(3\,\text{cm}\) (correspondant à la hauteur du prisme).
Délimitez les 5 rectangles en marquant des coupures verticales aux intervalles correspondant à la longueur \(s\).
Le patron complet se compose donc de 3 parties :
Une base “centrale” : le pentagone qui sert de « cœur » à la bande latérale, sur lequel les rectangles seront attachés.
La bande latérale : le ruban constitué de 5 rectangles, lequel, lorsqu’il est replié, formera la paroi latérale du prisme.
La deuxième base : un autre pentagone identique.
En résumé, votre patron se dessinera ainsi :
Lors de l’assemblage, le ruban latéral se pliera pour entourer la base du prisme et le second pentagone se collera sur l’autre extrémité.
Pour construire le patron d’un prisme droit à base de pentagone régulier :
Ce patron vous permettra, une fois découpé et plié, de recoller les côtés pour former le prisme droit attendu.
Ainsi se termine la correction détaillée de l’exercice.