Exercice 29
Exercice
Construisez le développement d’un prisme droit dont la base est un
triangle équilatéral de côté \(35\,\text{mm}\) et d’une hauteur de \(50\,\text{mm}\).
Réponse
Le développement se compose d’un rectangle de 105 mm × 50 mm
(assemblage des trois faces latérales de 35 mm × 50 mm) et de deux
triangles équilatéraux de 35 mm de côté (les bases du prisme).
Corrigé détaillé
Voici une solution détaillée permettant de construire le
développement d’un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral
de côté \(35\,\text{mm}\) et d’une
hauteur de \(50\,\text{mm}\).
Étape 1 :
Identifier les différentes faces du prisme
Un prisme droit dont la base est un triangle possède :
- Deux bases identiques : ce sont deux triangles
équilatéraux de côté \(35\,\text{mm}\).
- Trois faces latérales : ce sont des rectangles dont
la largeur est égale à la longueur d’un côté du triangle (donc \(35\,\text{mm}\)) et la hauteur est celle du
prisme, c’est-à-dire \(50\,\text{mm}\).
Étape 2 : Développer les
faces latérales
Les trois rectangles sont adjacents les uns aux autres. Lorsqu’on les
développe (déplie le prisme sur une feuille plane), ils s’assemblent
pour former une bande rectangulaire continue.
- Longueur de la bande : La longueur totale de cette
bande latérale est égale à la somme des longueurs des trois côtés du
triangle.
\[
35\,\text{mm} + 35\,\text{mm} + 35\,\text{mm} = 105\,\text{mm}
\]
- Hauteur de la bande : Elle est égale à la hauteur
du prisme, soit \(50\,\text{mm}\).
Ainsi, le rectangle global correspondant aux faces latérales a pour
dimensions \(105\,\text{mm} \times
50\,\text{mm}\).
Étape 3 : Dessiner le
développement complet
Pour construire le développement, procédez comme suit :
- Tracer la bande des faces latérales
- Tracez un segment horizontal de \(105\,\text{mm}\).
- Divisez ce segment en trois parties égales de \(35\,\text{mm}\) chacune en plaçant des
repères à \(35\,\text{mm}\) et à \(70\,\text{mm}\).
- À partir de ce segment, tracez par exemple, vers le bas, des
segments perpendiculaires de \(50\,\text{mm}\) pour définir la hauteur de
chaque rectangle.
- Complétez les rectangles en traçant des segments parallèles aux
segments de \(105\,\text{mm}\).
- Construire la base (le triangle équilatéral)
Vous devez dessiner deux triangles équilatéraux. En pratique, le
développement est souvent représenté en coupant le prisme le long d’une
arête latérale afin de mettre à plat la surface complète.
- Par exemple, vous pouvez attacher l’un des triangles à l’un des
côtés du rectangle de \(105\,\text{mm} \times
50\,\text{mm}\) (sur l’un des côtés extérieurs).
- Pour construire un triangle équilatéral de côté \(35\,\text{mm}\) :
- Tracez un segment de \(35\,\text{mm}\).
- Utilisez une équerre ou un compas pour reproduire des angles de
\(60^\circ\) de part et d’autre du
segment.
- Reliez les extrémités pour former le triangle.
- Le deuxième triangle correspond à la face opposée à celui déjà
attaché. Il est généralement représenté de manière séparée ou sur
l’autre côté du rectangle latéral, selon la méthode de découpage
choisie.
Conclusion
Le développement du prisme est composé :
- D’un rectangle de dimensions \(105\,\text{mm} \times 50\,\text{mm}\)
représentant la bande des trois faces latérales.
- De deux triangles équilatéraux de côté \(35\,\text{mm}\) correspondant aux bases du
prisme.
Il suffit de découper soigneusement dans le schéma papier puis de
plier le long des arêtes pour reconstituer le prisme en trois
dimensions. Cette construction illustre comment différentes surfaces
planes peuvent former un solide lorsqu’elles sont assemblées.
Ainsi, nous avons bien établi le développement du prisme demandé.