Exercice
Construisez le développement d’un parallélépipède rectangle aux dimensions \(3 \, \text{cm}\), \(4 \, \text{cm}\) et \(5 \, \text{cm}\).
Résumé très court : On construit le développement en disposant une face de 3×4 au centre, avec les deux faces de 3×5 attachées à ses côtés (gauche et droite) et les deux faces de 4×5 en haut et en bas. La deuxième face de 3×4 se place ensuite sur le bord libre d’une face 3×5, permettant ainsi, par pliage le long des arêtes, de reconstituer le parallélépipède de dimensions 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Nous allons construire le développement (ou « net ») d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont données par :
Un parallélépipède rectangle possède 6 faces, qui se présentent par trois paires de faces opposées. Ici, les dimensions des faces sont :
Nous allons proposer l’un des développements possibles. L’idée est de représenter à plat les 6 faces de manière à ce que, lorsque l’on plie les arêtes correspondantes, on retrouve le parallélépipède. Une solution classique consiste à disposer les rectangles comme dans une croix. Voici une manière de procéder :
Choisissons l’une des faces de dimension \(3 \times 4\) pour être le « noyau » du développement. Nous l’appellerons Face A et la disposons horizontalement, avec : - La dimension \(4 \, \text{cm}\) à l’horizontale, - La dimension \(3 \, \text{cm}\) à la verticale.
Nous devons rattacher aux arêtes de la Face A les faces dont un côté a la même longueur que celle de l’arête sur laquelle elles seront collées.
Il nous reste à placer l’autre face de dimensions \(3 \times 4\) (appelons-la Face F), qui est opposée à la Face A dans le parallélépipède. Cette face doit être positionnée de sorte que son bord de \(3 \, \text{cm}\) ou de \(4 \, \text{cm}\) se retrouve en continuité avec l’un des autres rectangles déjà placés.
Astuce :
Nous pouvons considérer la Face B (la face située à gauche de A). La
Face B, de dimensions \(3 \times 5\), a
deux bords de longueur \(3 \,
\text{cm}\) (celui qui est en contact avec la Face A et le bord
opposé à celui-ci) et deux bords de \(5 \,
\text{cm}\). Ici, le bord opposé à celui en contact avec la Face
A mesure \(3 \, \text{cm}\).
Nous pouvons fixer la Face F à ce bord, en veillant à ce que le côté de
\(3 \, \text{cm}\) de la Face F soit
raccord avec la Face B.
Voici une représentation schématique du développement proposé (les lettres correspondent aux faces) :
[ D ]
| (Face D : 4 × 5)
-----------------
| A | (Face A : 3 × 4)
| |[F] - [ B ] - [ C ] (3×4) (3×5) (3×5)
| |
------
[ E ]
(Face E : 4 × 5)Explications du schéma :
- La Face A (3 × 4) est placée au centre.
- La Face B (3 × 5) est accrochée à gauche de A et la Face C (3 × 5) à
droite.
- La Face D (4 × 5) est accrochée en haut de A et la Face E (4 × 5) en
bas.
- La Face F (3 × 4) est attachée à gauche de la Face B, partageant un
bord de \(3 \, \text{cm}\).
Chaque arête communique avec la face correspondante, c’est-à-dire que les longueurs des côtés mis en contact sont égales. Ce développement, une fois découpé, permet de replier les faces le long des arêtes et de constituer un parallélépipède rectangle ayant exactement les dimensions attendues.
On identifie les 6 faces en fonction des dimensions :
On place la première face \(3 \times 4\) comme face centrale.
On accroche aux côtés de cette face :
Enfin, on place la seconde face \(3 \times 4\) sur le bord libre d’une face \(3 \times 5\) (ici sur la Face B, en utilisant son bord de \(3 \, \text{cm}\)).
Cette construction permet d’obtenir un développement complet du parallélépipède rectangle.
En résumé, le développement proposé est le suivant :
Ce schéma correspond à un des nombreux développements possibles pour un parallélépipède rectangle de dimensions \(3 \, \text{cm}\), \(4 \, \text{cm}\) et \(5 \, \text{cm}\). Lorsque vous plierez ce développement le long des arêtes, vous reconstituerez le solide.
Voilà la correction détaillée de l’exercice.