Exercice 18

Dessine un rectangle. Ensuite, trace deux droites, chacune passant par un sommet différent, de manière à diviser le rectangle en trois parties de même aire.

Réponse

Réponse courte : On place, dans un rectangle ABCD de dimensions L et H, le point M sur [BC] à M = (L, 2H/3) et le point N sur [AD] à N = (0, H/3). En traçant la droite passant par A et M et celle passant par C et N, on obtient trois régions d’aire égale, chacune valant (L×H)/3.

Corrigé détaillé

Nous allons proposer ici une construction géométrique rigoureuse qui permet de diviser un rectangle en trois parties d’aire égale à l’aide de deux droites, chacune passant par un sommet différent. Pour faciliter la démonstration, nous utilisons un rectangle dont les dimensions seront décrites à l’aide de variables. Suivez bien les étapes ci-dessous :

1. Construction du rectangle et repérage des sommets

Soit un rectangle \(ABCD\) tel que
- \(A = (0,0)\)
- \(B = (L,0)\)
- \(C = (L,H)\)
- \(D = (0,H)\)

L’aire du rectangle est alors
\[ S = L \times H. \]

L’objectif est de diviser ce rectangle en trois régions d’aire égale, c’est-à-dire chacune d’aire \[ \frac{S}{3} = \frac{L \times H}{3}. \]

2. Détermination de deux points sur les côtés du rectangle

Nous allons repérer deux points de manière à créer deux triangles dont l’aire vaut chacune \(\frac{S}{3}\). L’idée est la suivante :

Point \(M\) sur le côté \([BC]\) :
Choisissons \(M\) sur le segment \([BC]\) (le côté vertical droit) de coordonnées
\[ M = \bigl(L,\, y_M\bigr) \quad \text{où } 0 \le y_M \le H. \] Nous allons placer \(M\) de sorte que le triangle \(\triangle ABM\) ait une aire égale à \(\frac{L \times H}{3}\).

Le triangle \(\triangle ABM\) a pour sommets
- \(A = (0,0)\)
- \(B = (L,0)\)
- \(M = (L, y_M)\).
Son aire est donnée par la formule
\[ \mathcal{A}_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}. \] Ici, la base \(AB\) est de longueur \(L\) et la hauteur est la distance verticale \(y_M\) (distance entre \(B=(L,0)\) et \(M=(L,y_M)\)). On a donc : \[ \frac{1}{2} \times L \times y_M = \frac{L \times H}{3}. \] Pour satisfaire cette égalité, on calcule : \[ y_M = \frac{2H}{3}. \] Ainsi, le point \(M\) a pour coordonnées
\[ M = \Bigl(L,\,\frac{2H}{3}\Bigr). \]
Point \(N\) sur le côté \([AD]\) :
Choisissons \(N\) sur le segment \([AD]\) (le côté vertical gauche) de coordonnées
\[ N = \bigl(0,\, y_N\bigr) \quad \text{où } 0 \le y_N \le H. \] Nous fixerons \(N\) de sorte que le triangle \(\triangle CDN\) ait également une aire de \(\frac{L \times H}{3}\).

Le triangle \(\triangle CDN\) a pour sommets
- \(C = (L,H)\)
- \(D = (0,H)\)
- \(N = (0,y_N)\).
Dans ce triangle, le côté \([CD]\) (de \(C\) à \(D\)) est horizontal et a pour longueur \(L\) (puisque \(C = (L,H)\) et \(D = (0,H)\)). La hauteur (perpendiculaire à ce côté) est la distance verticale entre \(D = (0,H)\) et \(N = (0,y_N)\), ce qui vaut \(H - y_N\). Son aire est donc : \[ \mathcal{A}_{\triangle CDN} = \frac{1}{2} \times L \times (H-y_N). \] Pour que cette aire soit égale à \(\frac{L \times H}{3}\) nous imposons : \[ \frac{1}{2} \times L \times (H-y_N) = \frac{L \times H}{3}. \] On simplifie en annulant \(L\) (supposé non nul) puis on résout : \[ \frac{1}{2}\,(H-y_N) = \frac{H}{3} \quad \Longrightarrow \quad H-y_N = \frac{2H}{3}. \] D’où,
\[ y_N = H - \frac{2H}{3} = \frac{H}{3}. \] Ainsi, le point \(N\) a pour coordonnées
\[ N = \Bigl(0,\,\frac{H}{3}\Bigr). \]

3. Tracé des deux droites et analyse de la division

Nous allons maintenant tracer :

La droite \((AM)\) passant par le sommet \(A = (0,0)\) et le point \(M = \Bigl(L,\,\frac{2H}{3}\Bigr)\).
La droite \((CN)\) passant par le sommet \(C = (L,H)\) et le point \(N = \Bigl(0,\,\frac{H}{3}\Bigr)\).

Ces deux droites se coupent en un point \(X\) qui se trouve à l’intérieur du rectangle.

Récapitulatif des régions ainsi formées :

Triangle \(\triangle ABM\) :
- Ses sommets sont \(A\), \(B\) et \(M\).
- Son aire est, par construction, \(\dfrac{L \times H}{3}\).
Triangle \(\triangle CDN\) :
- Ses sommets sont \(C\), \(D\) et \(N\).
- Son aire est, aussi par construction, \(\dfrac{L \times H}{3}\).
La région restante (un quadrilatère convexe) :
- Elle est délimitée par une partie des droites tracées et par certains segments du rectangle.
- Son aire est la différence entre l’aire totale du rectangle et les aires des deux triangles déjà obtenus. Ainsi,
  \[ S_{\text{restant}} = L\times H - 2\left(\frac{L\times H}{3}\right) = \frac{L\times H}{3}. \]

On obtient ainsi trois parties d’aire égale.

4. Remarque sur la construction

On a choisi judicieusement les sommets \(A\) et \(C\) pour tracer les droites, ce qui est autorisé puisque la consigne précise que « chacune [des droites] passant par un sommet différent ».
La construction repose sur le fait de repérer sur deux côtés opposés des points déterminés par l’égalité des aires de certains triangles.
Ce procédé assure que les deux triangles aux coins opposés ont chacun une aire \(\frac{S}{3}\) et que la région centrale, obtenue en complément, a également l’aire \(\frac{S}{3}\).

5. Conclusion

La méthode consiste donc à :

Dessiner le rectangle \(ABCD\) de côtés de longueurs \(L\) et \(H\).
Sur le côté \([BC]\), placer le point \(M = \Bigl(L,\,\frac{2H}{3}\Bigr)\) de sorte que le triangle \(\triangle ABM\) ait pour aire \(\frac{L \times H}{3}\).
Sur le côté \([AD]\), placer le point \(N = \Bigl(0,\,\frac{H}{3}\Bigr)\) de sorte que le triangle \(\triangle CDN\) ait pour aire \(\frac{L \times H}{3}\).
Tracer la droite passant par \(A\) et \(M\) et la droite passant par \(C\) et \(N\).
Les deux droites se coupent à l’intérieur du rectangle en un point \(X\) et divisent ainsi le rectangle en trois parties distinctes de même aire.

Cette construction permet de répondre à l’énoncé de l’exercice en respectant la condition donnée.

Ainsi, nous avons corrigé l’exercice en montrant, étape par étape, comment procéder de manière géométrique et en utilisant des calculs d’aires pour obtenir trois parties de même aire à l’aide de deux droites passant par des sommets différents du rectangle.