Exercice 17
Exercice
Les segments indiqués représentent les arêtes de deux cubes.
- Complétez le cube d’arête \(d\) en
perspective cavalière.
- Complétez le cube d’arête \(p\) en
perspective isométrique.
Réponse
Cube en perspective cavalière (arête d) : • Tracez un carré de côté d
(face avant). • À chaque sommet, tracez un segment (longueur d) incliné
selon le recul (par exemple à 45°). • Reliez les extrémités de ces
segments pour former le carré arrière et connectez les sommets
correspondants.
Cube en perspective isométrique (arête p) : • À partir d’un point,
tracez trois segments de longueur p orientés à 120° les uns des autres.
• Complétez les faces en reliant les extrémités des segments et en
traçant les segments parallèles aux premiers, formant ainsi le cube.
Corrigé détaillé
Voici une solution détaillée pour compléter cet exercice, en
expliquant étape par étape comment construire les cubes en respectant
les deux types de représentations géométriques demandées.
1. Cube d’arête \(d\) en perspective cavalière
La perspective cavalière est une représentation dans
laquelle l’objet est « décomposé » en deux plans : le plan frontal
(visible de face) et le plan en profondeur (rappelé « arrière »). Dans
ce type de dessin, les arêtes en profondeur sont généralement
représentées avec une inclinaison (souvent \(45^\circ\) par rapport à l’horizontale) et,
dans sa version classique, elles sont tracées à l’échelle réelle
(c’est-à-dire de même longueur que les arêtes de face) ou parfois
réduites d’un même facteur.
Voici les étapes pour compléter le cube d’arête \(d\) :
- Tracer le carré frontal :
- Dessinez un carré dont chacun des côtés mesure \(d\). Ce carré représente la face avant du
cube.
- Tracer les arêtes arrière :
- Depuis chacun des quatre sommets du carré frontal, tracez un segment
orienté selon la direction du recul en perspective cavalière.
- Choisissez par exemple une direction faisant un angle de \(45^\circ\) par rapport à l’horizontale vers
la gauche ou la droite, selon la convention adoptée.
- Chaque segment doit avoir la même longueur \(d\) (ou la longueur réduite par un facteur
constant, si la réduction est souhaitée).
- Compléter le carré arrière :
- Reliez ensemble les extrémités des segments arrière obtenus pour
tracer un second carré (qui sera « en recul »).
- Prenez soin de bien représenter ce carré en parallèle au carré
frontal. Il aura ainsi ses arêtes parallèles aux arêtes du carré
frontal.
- Relier les deux faces :
- Raccordez chaque sommet du carré frontal à la position
correspondante sur le carré arrière en traçant les segments d’égal
longueur \(d\).
- Vous obtenez ainsi les arêtes latérales qui relient la face avant à
la face arrière.
Le résultat final est un cube en perspective cavalière avec : - Une
face avant (le carré initial), - Une face arrière (le carré obtenu après
avoir tracé les arêtes en profondeur),
- Et les segments reliant les deux faces, qui représentent les autres
arêtes du cube.
2. Cube d’arête \(p\) en perspective isométrique
La perspective isométrique est une technique de
dessin dans laquelle les trois dimensions sont représentées de manière à
ce que les trois arêtes issues d’un même sommet soient inclinées de
\(120^\circ\) les unes par rapport aux
autres. Ainsi, les longueurs mesurées le long de ces trois directions
conservent la même échelle.
Voici comment procéder :
- Définir le point de départ et les trois axes :
- Choisissez un point qui représentera un coin du cube.
- Depuis ce point, tracez trois segments (les arêtes du cube) de
longueur \(p\).
- Le premier segment est généralement dessiné verticalement
(représentant la hauteur).
- Les deux autres segments sont inclinés : l’un vers la droite et
l’autre vers la gauche de manière à former un angle de \(120^\circ\) avec chacune des deux autres
directions.
- Construire la face avant du cube :
- À partir de ces trois segments, construisez un parallélogramme ou un
losange (selon l’orientation) qui servira de face avant.
- Par exemple, en reliant la fin du segment vertical aux extrémités
des deux segments obliques, vous obtenez les sommets d’une face du
cube.
- Compléter la profondeur du cube :
- Pour chaque sommet de la face avant, tracez un segment de longueur
\(p\) dans la direction opposée aux
arêtes déjà tracées (c’est-à-dire le même angle que celui utilisé pour
représenter la profondeur).
- Vous obtenez ainsi une face arrière semblable à la face avant.
- Relier les deux faces :
- Connectez les sommets correspondants de la face avant et de la face
arrière par des segments (toujours de longueur \(p\)).
- Ainsi, toutes les arêtes du cube sont obtenues.
En résumé, pour le cube en perspective isométrique, vous avez :
- Trois arêtes issues d’un même sommet, orientées selon des directions
séparées de \(120^\circ\).
- Les faces du cube (de forme généralement parallélogramme) construites
en doublant ces directions pour obtenir l’ensemble des sommets et des
arêtes du cube.
Schéma récapitulatif
Bien qu’un dessin soit nécessaire pour visualiser la démarche, voici
un aperçu de la construction :
Remarques complémentaires
- Pour obtenir un rendu correct, il faut veiller à conserver les mêmes
longueurs pour toutes les arêtes et respecter les angles précis indiqués
(soit \(45^\circ\) pour la perspective
cavalière et \(120^\circ\) entre les
axes en perspective isométrique).
- Ces techniques de dessin sont souvent utilisées pour mettre en
valeur la structure en trois dimensions d’un objet sur une feuille en
deux dimensions.
En suivant ces étapes, vous arriverez à compléter correctement les
deux cubes demandés pour l’exercice.