Soit un segment \(PR\) de \(8,4\) cm et son milieu \(M\). À partir de \(M\), tracez une droite \(d\) formant un angle de \(40^\circ\) avec le segment \(PR\).
Sur la droite \(d\), marquez deux segments \(MQ\) et \(MS\) de \(5\) cm chacun, de part et d’autre de \(M\).
Reliez les points pour obtenir les segments \(PQ\), \(PS\), \(RQ\) et \(RS\).
Construisez ensuite les milieux \(T\) de \(PQ\), \(U\) de \(QR\), \(V\) de \(RS\) et \(W\) de \(PS\).
Quel est le type du quadrilatère \(TUVW\) et quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{TUW}\) ?
Le quadrilatère TUVW est un parallélogramme (ni rectangle ni losange) et l’angle TUW mesure environ 22°.
Nous allons montrer, étape par étape, que dans cette construction le quadrilatère formé par les milieux \(T,\ U,\ V\) et \(W\) est un parallélogramme (ni rectangle ni losange) et que l’angle \(\widehat{TUW}\) (celui dont le sommet est \(U\)) mesure environ \(22^\circ\).
Pour étudier la construction, nous plaçons la figure dans un repère :
On place le milieu \(M\) à l’origine, c’est-à-dire \(M(0,0)\).
On fait passer le segment \(PR\) horizontal, de telle sorte que \(M\) en soit le milieu. Ainsi, si la longueur de \(PR\) est \(8,4\) cm alors \[ P(-4,2,\, 0) \quad \text{et} \quad R(4,2,\, 0) \] (puisque \(4,2 = \frac{8,4}{2}\)).
La droite \(d\) passe par \(M\) et forme un angle de \(40^\circ\) par rapport à \(PR\). On peut donc écrire son vecteur directeur comme \((\cos 40^\circ,\ \sin 40^\circ)\).
Sur \(d\), on place deux points \(Q\) et \(S\) tels que \(MQ = MS = 5\) cm, de part et d’autre de \(M\). On choisit : \[ Q(5\cos 40^\circ,\ 5\sin 40^\circ) \quad \text{et} \quad S(-5\cos 40^\circ,\ -5\sin 40^\circ). \]
Remarque : Dans cette approche, la construction est rigoureusement déterminée.
Les points \(P,\ Q,\ R,\ S\) forment les sommets du quadrilatère construit (par connexions \(PQ,\ PS,\ RQ,\ RS\)). On note ensuite : - \(T\) est le milieu de \(PQ\), - \(U\) est le milieu de \(QR\), - \(V\) est le milieu de \(RS\), - \(W\) est le milieu de \(PS\).
Les coordonnées de \(P\) et \(Q\) sont : \[ P(-4,2,\, 0) \quad \text{et} \quad Q(5\cos 40^\circ,\ 5\sin 40^\circ). \] Donc, \[ T = \left(\frac{-4,2+5\cos 40^\circ}{2},\ \frac{0+5\sin 40^\circ}{2}\right). \]
Avec \[ Q(5\cos 40^\circ,\ 5\sin 40^\circ) \quad \text{et} \quad R(4,2,\, 0), \] on a : \[ U = \left(\frac{5\cos 40^\circ+4,2}{2},\ \frac{5\sin 40^\circ+0}{2}\right). \]
Les points \(R\) et \(S\) ont pour coordonnées : \[ R(4,2,\, 0) \quad \text{et} \quad S(-5\cos 40^\circ,\ -5\sin 40^\circ). \] Alors, \[ V = \left(\frac{4,2+(-5\cos 40^\circ)}{2},\ \frac{0+(-5\sin 40^\circ)}{2}\right) = \left(\frac{4,2-5\cos 40^\circ}{2},\ -\frac{5\sin 40^\circ}{2}\right). \]
Avec \[ P(-4,2,\,0) \quad \text{et} \quad S(-5\cos 40^\circ,\ -5\sin 40^\circ), \] on obtient : \[ W = \left(\frac{-4,2+(-5\cos 40^\circ)}{2},\ \frac{0+(-5\sin 40^\circ)}{2}\right) = \left(\frac{-4,2-5\cos 40^\circ}{2},\ -\frac{5\sin 40^\circ}{2}\right). \]
Observons les coordonnées obtenues :
Pour \(T\) et \(U\) :
La composante \(y\) vaut respectivement
\(\frac{5\sin 40^\circ}{2}\) pour
chacun.
De plus, la différence entre les \(x\)-coordonnées de \(U\) et \(T\) est \[
\frac{5\cos 40^\circ+4,2 - \big(-4,2+5\cos 40^\circ\big)}{2}
= \frac{8,4}{2}=4,2.
\] Ainsi, le segment \(TU\) est
horizontal, de longueur \(4,2\)
cm.
Pour \(V\) et \(W\) :
La composante \(y\) est égale à \(-\frac{5\sin 40^\circ}{2}\) pour chacun et
la distance horizontale entre \(V\) et
\(W\) est également \(4,2\) cm.
De plus, en calculant par exemple le vecteur reliant \(U\) à \(V\) : \[ \vec{UV} = V-U = \left(\frac{4,2-5\cos 40^\circ}{2}-\frac{5\cos 40^\circ+4,2}{2},\ -\frac{5\sin 40^\circ}{2}-\frac{5\sin 40^\circ}{2}\right) \] \[ =\left(\frac{-10\cos 40^\circ}{2},\ -\frac{10\sin 40^\circ}{2}\right) =\Big(-5\cos 40^\circ,\ -5\sin 40^\circ\Big). \] Sa longueur est : \[ |\vec{UV}|=\sqrt{(5\cos 40^\circ)^2+(5\sin 40^\circ)^2} =5, \] puisque \(\cos^2 40^\circ+\sin^2 40^\circ=1\).
On trouve de même que \[ \vec{WT} = T-W \] a la même longueur que \(\vec{UV}\).
Ainsi, dans le quadrilatère \(TUVW\) les côtés opposés \(TU\) et \(VW\) sont égaux et parallèles (car horizontaux) et les côtés \(UV\) et \(WT\) sont égaux. Par définition, cela montre que \(TUVW\) est un parallélogramme.
Remarque :
Les longueurs des côtés adjacents sont \(TU = VW = 4,2\) cm et \(UV = WT = 5\) cm. Comme ces longueurs sont différentes et que le produit scalaire entre \(\vec{TU}\) et \(\vec{UV}\) n’est pas nul (ce qui se calculera ci-dessous), le parallélogramme n’est ni rectangle ni losange.
L’angle \(\widehat{TUW}\) est l’angle en \(U\) formé par les vecteurs \(\vec{UT}\) et \(\vec{UW}\). Pour le déterminer, nous calculons ces deux vecteurs à partir des coordonnées de \(U\), \(T\) et \(W\).
On a : \[ T = \Big(\frac{-4,2+5\cos 40^\circ}{2},\ \frac{5\sin 40^\circ}{2}\Big) \quad \text{et} \quad U = \Big(\frac{5\cos 40^\circ+4,2}{2},\ \frac{5\sin 40^\circ}{2}\Big). \] La différence donne : \[ \vec{UT}= T-U = \left(\frac{-4,2+5\cos 40^\circ - (5\cos 40^\circ+4,2)}{2},\ 0\right) =\left(\frac{-8,4}{2},\ 0\right) =(-4,2,\ 0). \] Sa norme est : \[ \|\vec{UT}\|=4,2. \]
Les coordonnées de \(W\) et \(U\) sont : \[ W = \left(\frac{-4,2-5\cos 40^\circ}{2},\ -\frac{5\sin 40^\circ}{2}\right), \] \[ U = \left(\frac{5\cos 40^\circ+4,2}{2},\ \frac{5\sin 40^\circ}{2}\right). \] On trouve : \[ \vec{UW}= W-U = \left(\frac{-4,2-5\cos 40^\circ - (5\cos 40^\circ+4,2)}{2},\ -\frac{5\sin 40^\circ}{2}-\frac{5\sin 40^\circ}{2}\right). \] Calculons la composante \(x\) : \[ -4,2-5\cos 40^\circ -5\cos 40^\circ-4,2 = -8,4-10\cos 40^\circ, \] donc, \[ \text{composante } x= \frac{-8,4-10\cos 40^\circ}{2}=-\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{2}. \] La composante \(y\) est : \[ -\frac{5\sin 40^\circ}{2}-\frac{5\sin 40^\circ}{2}=-\frac{10\sin 40^\circ}{2}=-5\sin 40^\circ. \] Ainsi, \[ \vec{UW}= \left(-\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{2},\ -5\sin 40^\circ\right). \] Sa norme est : \[ \|\vec{UW}\|=\sqrt{\left(\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{2}\right)^2+(5\sin 40^\circ)^2}. \]
Le produit scalaire est donné par : \[ \vec{UT}\cdot\vec{UW}=(-4,2,\ 0)\cdot\left(-\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{2},\ -5\sin 40^\circ\right) =\left(-4,2\right)\left(-\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{2}\right)+ 0\cdot(-5\sin 40^\circ). \] Ceci donne : \[ \vec{UT}\cdot\vec{UW}= \frac{4,2(8,4+10\cos 40^\circ)}{2}=2,1\,(8,4+10\cos 40^\circ). \]
La formule du cosinus de l’angle \(\theta=\widehat{TUW}\) est : \[ \cos\theta=\frac{\vec{UT}\cdot\vec{UW}}{\|\vec{UT}\|\,\|\vec{UW}\|}= \frac{2,1\,(8,4+10\cos 40^\circ)}{4,2\,\|\vec{UW}\|}. \] On remarque que \(\frac{2,1}{4,2}=\frac{1}{2}\), donc : \[ \cos\theta=\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{2\,\|\vec{UW}\|}. \] Or, la norme de \(\vec{UW}\) est : \[ \|\vec{UW}\|=\sqrt{\frac{(8,4+10\cos 40^\circ)^2}{4}+25\sin^2 40^\circ}. \] Nous pouvons multiplier numérateur et dénominateur par \(2\) pour obtenir : \[ \cos\theta=\frac{8,4+10\cos 40^\circ}{\sqrt{(8,4+10\cos 40^\circ)^2+100\sin^2 40^\circ}}. \]
Utilisons les valeurs approchées suivantes : \[ \cos 40^\circ\approx 0,7660,\quad \sin 40^\circ\approx 0,6428. \] Calculons alors : \[ 8,4+10\cos 40^\circ\approx 8,4+7,660=16,06. \] Ensuite, \[ (8,4+10\cos 40^\circ)^2+100\sin^2 40^\circ \approx 16,06^2+100\times(0,6428)^2. \] On a : \[ 16,06^2\approx257,9\quad \text{et} \quad 100\times(0,6428)^2\approx100\times0,4132=41,32. \] Donc : \[ (8,4+10\cos 40^\circ)^2+100\sin^2 40^\circ\approx257,9+41,32=299,22. \] La racine carrée est : \[ \sqrt{299,22}\approx17,3. \] Ainsi, \[ \cos\theta\approx\frac{16,06}{17,3}\approx0,927. \] D’où : \[ \theta\approx\arccos(0,927)\approx21,8^\circ. \] Pour un résultat arrondi, on dira environ \(22^\circ\).
Le quadrilatère \(TUVW\) a ses
côtés opposés parallèles et de mêmes longueurs, ce qui démontre qu’il
est un parallélogramme.
Les longueurs des côtés sont : \[
TU=VW=4,2\ \text{cm} \quad \text{et} \quad UV=WT=5\ \text{cm}.
\] Comme les côtés adjacents sont de longueurs différentes et que
les angles ne mesurent pas \(90^\circ\), ce parallélogramme n’est ni un
rectangle ni un losange.
L’angle \(\widehat{TUW}\), mesuré en \(U\) entre les vecteurs \(\vec{UT}\) et \(\vec{UW}\), est : \[ \widehat{TUW}\approx22^\circ. \]
Le quadrilatère \(TUVW\) est un parallélogramme (non rectangle ni losange) et l’angle \(\widehat{TUW}\) mesure environ \(22^\circ\).